代數(shù)特征值問題

第一章 理論基礎
引言
定義
轉(zhuǎn)置矩陣的特征值與特征向量
不相同的特征值
相似變換
重特征值與一般矩陣的標準型
虧損特征向量系
Jordan 經(jīng)典的 標準型
初等因子
A的特征多項式的友矩陣
非減次矩陣
Frobenius 有理的 標準型
Jordan標準型與Frobenius標準型的關系
相抵變換
矩陣
初等運算
Smith標準型
矩陣的k行子式的最大公因子
A-I 的不變因子
三角標準型
Hermite矩陣與對稱矩陣
Hermite矩陣的基本性質(zhì)
復對稱矩陣
用酉變換化成三角型
二次型
正定性的充要條件
常系數(shù)微分方程
對應于非線性初等因子的解
高階微分方程
特殊形式的二階方程
By=-Ay的顯式解
形如 AB-I x＝0的方程
向量的最小多項式
矩陣的最小多項式
Cayley-Hamilton定理
最小多項式與標準型的關系
主向量
初等相似變換
初等矩陣的性質(zhì)
用初等相似變換化成三角標準型
初等酉變換
初等酉Hermite矩陣
用初等酉變換化成三角型
正規(guī)矩陣
可交換矩陣
AB的特征值
向量與矩陣的范數(shù)
從屬的矩陣范數(shù)
Euclid范數(shù)與譜范數(shù)
范數(shù)與極限
避免使用矩陣無窮級數(shù)
第二章 攝動理論
引言
關于特征值連續(xù)性的Ostrowski定理
代數(shù)函數(shù)
數(shù)值例題
單特征值的攝動理論
對應特征向量的攝動
具有線性初等因子的矩陣
特征值的一階攝動
特征向量的一階攝動
高階攝動
重特征值
Gerschgorin定理
基于Gerschgorin定理的攝動理論
情形1具有線性初等因子矩陣的單特征值1的攝動
情形2具有線性初等因子矩陣的重特征值1的攝動
情形3具有一個或多個非線性初等因子矩陣的單特征
值的攝動
情形4相應于非減次矩陣非線性因子的特征值的攝動
情形5當有一個以上 i- 冪次的初等因子且至
少有一個為非線性時, 特征值i的攝動
相應于非線性因子一般分布的攝動
根據(jù)Jordan標準型的特征向量的攝動理論
相應于重特征值 線性初等因子 的特征向量的攝動
攝動理論的限度
si之間的關系
計算問題的條件
條件數(shù)
矩陣A關于特征值問題的譜條件數(shù)
譜條件數(shù)的性質(zhì)
條件數(shù)的不變性
非常病態(tài)的矩陣
實對稱矩陣的攝動理論
非對稱攝動
對稱攝動
經(jīng)典方法
秩為1的對稱矩陣
特征值的極值性質(zhì)
特征值的極小-極大性質(zhì)
兩個對稱矩陣之和的特征值
實際應用
極小-極大原理的進一步應用
分隔定理
Wielandt-Hoffman定理
第三章 誤差分析
引言
定點運算
內(nèi)積的累加
浮點運算
誤差界的簡化表示
某些基本浮點計算的誤差界
誤差矩陣的范數(shù)的界
浮點運算中內(nèi)積的累加
某些基本fl2
計算的誤差界
平方根的計算
塊浮點向量和矩陣
t位計算的基本限制
用相似變換作簡化的特征值方法
基于初等非酉變換方法的誤差分析
基于初等酉變換的方法的誤差分析
酉變換的優(yōu)越性
實對稱矩陣
酉變換的限度
用浮點計算的平面旋轉(zhuǎn)的誤差分析
用平面旋轉(zhuǎn)的乘法
用一系列平面旋轉(zhuǎn)做乘法
近似的平面旋轉(zhuǎn)乘積的誤差
相似變換的誤差
對稱矩陣
定點運算的平面旋轉(zhuǎn)
sin和cos的另一種算法
用近似的定點旋轉(zhuǎn)左乘
用一系列平面旋轉(zhuǎn)相乘 定點
一組近似平面旋轉(zhuǎn)的計算乘積
相似變換的誤差
關于誤差界的總評述
浮點計算的初等Hermite矩陣
初等Hermite矩陣計算的誤差分析
數(shù)值例子
用近似的初等Hermite矩陣左乘
用近似的初等Hermite矩陣序列的乘法
類似平面旋轉(zhuǎn)的非酉初等矩陣
類似于初等Hermite矩陣的非酉初等矩陣
用非酉矩陣序列左乘
先驗的誤差界
正規(guī)性的偏離
簡單的例子
后驗的界
正規(guī)矩陣的后驗的界
Rayleigh商
Rayleigh商的誤差
Hermite矩陣
病態(tài)地靠近的特征值
非正規(guī)矩陣
完全特征系的誤差分析
數(shù)值例子
限制可達精度的條件
非線性初等因子
近似的不變子空間
幾乎正規(guī)矩陣
第四章 線性代數(shù)方程組的解法
引言
攝動理論
條件數(shù)
平衡矩陣
簡單的實際例子
特征向量矩陣的條件
顯式解
對矩陣條件的總評述
病態(tài)和幾乎奇異的關系
t位運算的限制
解線性方程組的算法
Gauss消去法
三角形分解
三角形分解矩陣的結構
三角形矩陣元素的顯式表達式
Gauss消去法的中斷
數(shù)值穩(wěn)定性
交換的重要性
數(shù)值例子
Gauss消去法的誤差分析
用定點運算的攝動矩陣的上界
約化后的矩陣元素的上界
全主元素
部分主元素方法的實際過程
浮點誤差分析
不選主元素的浮點分解
有效位的損失
流傳的謬誤
特殊形式的矩陣
在高速計算機上的Gauss消去法
對應不同的右端的解
直接的三角形分解
Gauss消去法和直接的三角形分解的關系
分解不唯一和失敗的例子
有行交換的三角形分解
三角形分解的誤差分析
行列式計算
Cholesky分解
對稱非正定矩陣
定點運算Cholesky分解的誤差分析
病態(tài)矩陣
用初等Hermite矩陣的三角形化
Householder三角形化的誤差分析
用M''ji型初等穩(wěn)定矩陣的三角形化
前主子式的計算
用平面旋轉(zhuǎn)的三角形化
Givens約化的誤差分析
正交三角形化的唯一性
Schmidt正交化
三角形化方法的比較
向后回代
三角形方程組的計算解的高精度
一般的方程組的解
一般矩陣的逆的計算
計算解的精度
沒有小主元素的病態(tài)矩陣
近似解的迭代改進
迭代過程中舍入誤差的影響
定點計算的迭代過程
迭代過程的一個簡單例子
迭代過程的總評述
有關的迭代法
迭代過程的極限
迭代法的嚴格的調(diào)整
第五章 Hermite矩陣
引言
實對稱矩陣的經(jīng)典Jacobi方法
收斂率
收斂于固定的對角矩陣
順序Jacobi方法
Gerschgorin圓
Jacobi方法的最后的二次收斂性
靠近的和重的特征值
數(shù)值例子
cos和sin的計算
更簡單的轉(zhuǎn)角計算方法
過關Jacobi方法
特征向量計算
數(shù)值例子
Jacobi方法的舍入誤差
計算的特征向量的精確度
用定點計算的誤差界
程序編制問題
Givens方法
在有兩級存儲設備的計算機上實現(xiàn)Givens方法
Givens方法的浮點誤差分析
定點誤差分析
數(shù)值例子
Householder方法
利用對稱性
存儲方案的研究
在有內(nèi). 外存儲設備的計算機上實現(xiàn)Householder方法
用定點運算的Householder方法
數(shù)值例子
Householder方法的誤差分析
對稱三對角矩陣的特征值
Sturm序列性質(zhì)
分半法
分半法的數(shù)值穩(wěn)定性
數(shù)值例子
關于分半法的總評述
小特征值
靠近的特征值和小Bi
特征值的定點計算
三對角型的特征向量計算
特征向量顯式表達式的不穩(wěn)定性
數(shù)值例子
逆迭代
初始向量b的選擇
誤差分析
數(shù)值例子
靠近的特征值和小的Bi
對應重特征值的線性獨立特征向量
計算特征向量的交替方法
數(shù)值例子
三對角矩陣特征問題的評論
Givens和Householder方法的完成
方法的比較
擬對稱三對角矩陣
特征向量的計算
形如Ax＝Bx和ABx＝x的方程
數(shù)值例子
同時簡化A和B為對角型
三對角矩陣A和B
復Hermite矩陣
第六章 化一般矩陣為壓縮型
引言
Givens方法
Householder方法
存儲方案的研究
誤差分析
Givens方法與Householder方法的關系
初等穩(wěn)定變換
置換的意義
直接約化矩陣為Hessenberg型
結合交換
數(shù)值例子
誤差分析
有關的誤差分析
Hessenberg矩陣的劣定
用M''ji型穩(wěn)定矩陣化為Hessenberg型
Krylov方法
逐列Gauss消去法
實際的困難
對于某些標準的特征值分布的C的條件
級小于n的初始向量
實際的經(jīng)驗
廣義Hessenberg方法
廣義Hessenberg方法的失敗
Hessenberg方法
實際的方法
Hessenberg方法與以前的方法的關系
Arnoldi方法
實際的考慮
再正交化的重要性
Lanczos方法
過程的故障
數(shù)值例子
實際的Lanczos方法
數(shù)值例子
非對稱的Lanczos方法的總評述
對稱的Lanczos方法
化Hessenberg矩陣為更壓縮的形式
化下Hessenberg矩陣為三對角型
使用交換
小主元素的影響
誤差分析
應用于下Hessenberg型的Hessenberg方法
Hessenberg方法與Lanczos方法的關系
化一般矩陣為三對角型
和Lanczos方法比較
化矩陣為三對角型的重新考察
化上Hessenberg型為Frobenius型
小主元素的影響
數(shù)值例子
關于穩(wěn)定性的總評述
特殊的上Hessenberg型
直接確定特征多項式
第七章 壓縮型矩陣的特征值
引言
顯式多項式形式
顯式多項式的條件數(shù)
某些典型的零點分布
Krylov方法的總評述
顯式多項式的總評述
三對角矩陣
Hessenberg矩陣的行列式
舍入誤差的影響
浮點累加
用正交變換計算
一般矩陣的行列式計算
廣義特征值問題
間接確定特征多項式
Le Verrier方法
以插值為基礎的迭代拄
漸近收斂率
多重零點
函數(shù)關系的逆
區(qū)間分半法
Newton法
Newton法與插值法的比較
三次收斂的方法
Laguerre方法
復零點
復共軛零點
Bairstow方法
廣義的Bairstow方法
實際的考慮
舍入誤差對漸近收斂性的影響
區(qū)間分半法
逐次線性插值
多重的和病態(tài)靠近的特征值
其他的插值法
使用導數(shù)的方法
接收零點的準則
舍入誤差的影響
消除已計算的零點
Hessenberg矩陣的降階
三對角矩陣的降階
用旋轉(zhuǎn)或穩(wěn)定的初等變換降階
降階的穩(wěn)定性
關于降階的總評述
消除已計算的零點
消除已計算的二次因子
關于消除零點方法的總評述
漸近收斂率
大范圍的收斂性
復零點
建議
復矩陣
含有獨立參數(shù)的矩陣
第八章 LR和QR算法
引言
有復特征值的實矩陣
LR算法
As的收斂性證明
正定Hermite矩陣
復共軛特征值
引進交換
數(shù)值例子
修改過程的收斂性
初始矩陣的預先約化
上Hessenberg型的不變性
行和列同時運算
收斂的加速
結合原點的移動
選擇原點的移動
矩陣降階
關于收斂性的實際經(jīng)驗
改進的移動策略
復共軛特征值
修正的LR算法的缺點
QR算法
QR算法的收斂性
收斂性的正式證明
特征值的不同順序
等模的特征值
LR算法的另一個證明
QR算法的實際應用
原點移動
As的分解
數(shù)值例子
實際的方法
避免復共軛位移
用初等Hermite變換的雙步QR
計算的細節(jié)
As的分解
LR的雙位移技術
對LR算法和QR算法的評述
多重特征值
降階法的特殊用途
對稱矩陣
LR算法與QR算法的關系
Cholesky LR算法的收斂性
QR算法的三次收斂性
Cholesky LR中的原點位移
Cholesky分解失敗
三次收斂的LR方法
帶狀矩陣
帶狀矩陣的QR分解
誤差分析
非對稱帶狀矩陣
在QR算法中同時分解和復合
縮小帶寬
第九章 迭代法
引言
冪法
單個向量的直接迭代
原點移動
舍入誤差的影響
P的變化
P的特別選擇
Aitken的加速方法
復共軛特征值
復特征向量的計算
原點移動
非線性初等因子
同時決定幾個特征值
復矩陣
收縮法
用相似變換的收縮法
用不變子空間的收縮法
用穩(wěn)定初等變換的收縮法
用酉變換的收縮法
數(shù)值穩(wěn)定性
數(shù)值例子
酉變換的穩(wěn)定性
非相似變換的收縮法
用不變子空間的一般約化
實際應用
梯級迭代
復共軛特征值的精度確定
十分靠近的特征值
正交化方法
正交化的梯級迭代
雙迭代
數(shù)值例子
Richardson改進方法
矩陣平方法
數(shù)值穩(wěn)定性
Chebyshev多項式的使用
關于直接迭代的總評述
逆迭代
逆迭代的誤差分析
分析的總評述
特征向量的進一步改進
非線性初等因子
Hessenberg矩陣的逆迭代
退化情況
帶形矩陣逆迭代
復共軛特征向量
誤差分析
數(shù)值例子
廣義特征值問題
近似特征值的變更
特征系的改進
數(shù)值例子
特征向量的改進
復共軛特征值
重的和非?？拷奶卣髦?br />對ACE程序的評述
參考文獻