大學(xué)數(shù)學(xué)考研專題復(fù)習(xí)（2005年修訂版）

第一章極限與連續(xù)………………………………………………………………………l
§1.1極限的概念與性質(zhì)……………………………………………………………1
1.1.1極限的基本概念………………………………………………………1
1.1.2極限的性質(zhì)…………………………………………………………………4
1.1.3數(shù)列與函數(shù)的某些特性的判斷……………………………………………8
§1.2函數(shù)的連續(xù)性…………………………………………………………………10
1.2.1　函數(shù)連續(xù)的概念……………………………………………………………10
1.2.2　函數(shù)間斷的概念……………………………………………………………12
1.2.3　閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)…………………………………………………15
§1.3極限存在的準(zhǔn)則………………………………………………………………16
§1.4極限的計(jì)算……………………………………………………………………22
1.4.1基本型不定式極限的計(jì)算…………………………………………………22
1.4.2冪指函數(shù)極限的計(jì)算………………………………………………………29
1.4.3極限中參數(shù)的確定…………………………………………………………32
1.4.4利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限……………………………………………………35
1.4.5利用定積分的定義求極限…………………………………………………36
1.4.6含有變限定積分的極限的計(jì)算……………………………………………38
練習(xí)一…………………………………………………………………………………40
第二章一元函數(shù)微分學(xué)…………………………………………………………………46
§2.1導(dǎo)數(shù)與微分的概念……………………………………………………………46
2.1.1導(dǎo)數(shù)的定義…………………………………………………………………46
2.1.2導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)……………………………………………………………48
2.1.3分段函數(shù)的可導(dǎo)性…………………………………………………………50
2.1.4微分的定義…………………………………………………………………52
§2.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用……………………………………………………………53
2.2.1若干基本類(lèi)型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)………………………………………………...53
2.2.2　高階導(dǎo)數(shù)……………………………………………………………………58
2.2.3　函數(shù)的最大值與最小值……………………………………………………62
§2.3導(dǎo)數(shù)的若干證明………………………………………………………………64
練習(xí)二…………………………………………………………………………………71
第三章一元函數(shù)積分學(xué)…………………………………………………………………77
§3.1　一元函數(shù)積分的概念與性質(zhì)…………………………………………………77
3.1.1　不定積分與定積分的概念與性質(zhì)…………………………………………77
3.1.2廣義積分的概念與性質(zhì)……………………………………………………80
§3.2變限定積分……………………………………………………………………83
3.2.1變限定積分函數(shù)的概念與性質(zhì)……………………………………………83
3.2.2　變限定積分函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性………………………………………86
3.2.3　變限定積分的導(dǎo)數(shù)與積分的計(jì)算…………………………………………88
§3.3積分的計(jì)算……………………………………………………………………90
3.3.1不定積分的計(jì)算……………………………………………………………90
3.3.2定積分的計(jì)算………………………………………………………………97
3.3.3分段函數(shù)的積分的計(jì)算…………………………………………………101
3.3.4廣義積分的計(jì)算…………………………………………………………103
§3.4定積分的若干證明…………………………………………………………105
練習(xí)三…………………………………………………………………………………110
第四章方程實(shí)根的討論…………………………………………………………………115
§4.1利用連續(xù)函數(shù)性質(zhì)討論方程的實(shí)根………………………………………115
§4.2結(jié)合函數(shù)性態(tài)分析討論方程的實(shí)根………………………………………118
§4.3利用微分中值定理討論方程的實(shí)根………………………………………119
§4.4結(jié)合定積分的性質(zhì)討論方程的實(shí)根……………………………………130
練習(xí)四…………………………………………………………………………………133
第五章無(wú)窮級(jí)數(shù)………………………………………………………………………138
§5.1無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念………………………………………………………138
5.1.1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念……………………………………………………138
5.1.2　函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念…………………………………………………145
§5.2無(wú)窮級(jí)數(shù)斂散性的判斷……………………………………………………146
§5.3冪級(jí)數(shù)的收斂域及其和函數(shù)……………………………………………158
5.3.1冪級(jí)數(shù)收斂域的確定……………………………………………………158
5.3.2冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求取……………………………………………………161
5.3.3數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的求取………………………………………………………167
練習(xí)五…………………………………………………………………………………169
第六章一元函數(shù)及其性態(tài)………………………………………………………………173
§6.1　函數(shù)…………………………………………………………………………173
6.1.1　函數(shù)的概念………………………………………………………………173
6.1.2　函數(shù)構(gòu)造…………………………………………………………………178
§6.2　一元函數(shù)性態(tài)的分析……………………………………………………180
§6.3　函數(shù)的泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)…………………………………………186
6.3.1　函數(shù)的泰勒公式…………………………………………………………186
6.3.2　函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)……………………………………………………188
§6.4　函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)……………………………………………………195
練習(xí)六…………………………………………………………………………………203
第七章常微分方程………………………………………………………………………207
§7.1　常微分方程的基本概念及其解的性質(zhì)……………………………………207
7.1.1　常微分方程的基本概念…………………………………………………207
7.1.2線性微分方程解的性質(zhì)與解的結(jié)構(gòu)理論………………………………209
§7.2線性微分方程………………………………………………………………210
7.2.1　一階線性微分方程………………………………………………………210
7.2.2常系數(shù)線性微分方程……………………………………………………216
7.2.3　變系數(shù)線性微分方程……………………………………………………218
§7.3非線性微分方程……………………………………………………………222
7.3.1利用變量代換求解微分方程……………………………………………222
7.3.2可降階的非線性微分方程………………………………………………228
§7.4微分方程的應(yīng)用問(wèn)題………………………………………………………229
練習(xí)七…………………………………………………………………………………232
第八章多元函數(shù)微分學(xué)…………………………………………………………………237
§8.1　多元函數(shù)的基本概念與性質(zhì)………………………………………………237
8.1.1　多元函數(shù)的概念與二元函數(shù)的泰勒公式………………………………237
8.1.2多元函數(shù)的極限與連續(xù)…………………………………………………238
8.1.3多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)………………………………………………………240
8.1.4全微分……………………………………………………………………244
§8.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算……………………………………………………248
§8.3　多元函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題………………………………………………………260
練習(xí)八………………………………………………………………………………265
第九章重積分……………………………………………………………………………269
§9.1　重積分的概念與性質(zhì)………………………………………………………269
§9.2重積分的計(jì)算………………………………………………………………278
§9.3無(wú)界區(qū)域上廣義重積分的概念與計(jì)算……………………………………286
練習(xí)九…………………………………………………………………………………287
第十章不等式的證明……………………………………………………………………292
§10.1利用基本不等式證明不等式………………………………………………292
§10.2利用導(dǎo)數(shù)證明不等式………………………………………………………294
§10.3定積分不等式的證明………………………………………………………305
§10.4重積分不等式的證明………………………………………………………319
"　練習(xí)十…………………………………………………………………………………325
第十一章積分的應(yīng)用……………………………………………………………………329
§11.1　積分的幾何應(yīng)用…………………………………………………………329
§11.2積分的物理應(yīng)用…………………………………………………………339
練習(xí)十一………………………………………………………………………………349
第十二章矢量代數(shù)·解析幾何·場(chǎng)論……………………………………………………351
§12.1　矢量代數(shù)……………………………………………………………………351
§12.2空間解析幾何………………………………………………………………355
12.2.1平面與直線………………………………………………………………355
12.2.2　空間曲面及其方程………………………………………………………363
12.2.3　空間曲線及其方程………………………………………………………366
§12.3場(chǎng)論初步……………………………………………………………………369
練習(xí)十二………………………………………………………………………………374
第十三章曲面積分與曲線積分…………………………………………………………377
§13.1　第一類(lèi)曲線積分與曲面積分………………………………………………377
13.1.1　第一類(lèi)曲線積分…………………………………………………………377
13.1.2第一類(lèi)曲面積分…………………………………………………………381
§13.2第二類(lèi)曲面積分……………………………………………………………384
13.2.1第二類(lèi)曲面積分的概念與性質(zhì)………………………………………385
13.2.2第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算…………………………………………………386
§13.3第二類(lèi)曲線積分……………………………………………………………395
13.3.1第二類(lèi)曲線積分的概念與性質(zhì)…………………………………………395
13.3.2　第二類(lèi)曲線積分的計(jì)算…………………………………………………397
13.3.3平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)………………………………………………406
13.3.4　曲線積分的不等式………………………………………………………411
練習(xí)十三………………………………………………………………………………412
第十四章函數(shù)方程………………………………………………………………………417
練習(xí)十四………………………………………………………………………………431
第十五章經(jīng)濟(jì)學(xué)中的若干數(shù)學(xué)問(wèn)題……………………………………………………434
§15.1微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用…………………………………………………434
15.1.1極限在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用…………………………………………………434
15.1.2利用定積分求解經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題…………………………………………435
15.1.3利用導(dǎo)數(shù)求解經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題……………………………………………438
15.1.4利用最優(yōu)化原則求解經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題……………………………………441
§15.2差分方程及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用…………………………………………444
練習(xí)十五………………………………………………………………………………447
第十六章行列式…………………………………………………………………………450
§16.1　咒階行列式的定義………………………………………………………450
§16.2行列式的計(jì)算………………………………………………………………452
16.2.1　可直接用定義求出的四類(lèi)基本形………………………………………452
16.2.2行列式的性質(zhì)……………………………………………………………453
16.2.3三種計(jì)算行列式的方法…………………………………………………457
16.2.4幾類(lèi)行列式………………………………………………………………463
16.2.5　用拉普拉斯定理得到的四類(lèi)行列式的基本形…………………………466
練習(xí)十六………………………………………………………………………………468
第十七章矩陣……………………………………………………………………………472
§17.1矩陣的概念和運(yùn)算…………………………………………………………472
17.1.1矩陣的概念和特殊矩陣…………………………………………………472
17.1.2矩陣的運(yùn)算………………………………………………………………474
§17.2矩陣的秩和等價(jià)……………………………………………………………488
17.2.1矩陣的秩…………………………………………………………………488
17.2.2矩陣的等價(jià)………………………………………………………………489
§17.3兩種方法：矩陣的分塊和等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形……………………………………491
練習(xí)十七………………………………………………………………………………495
第十八章線性方程組……………………………………………………………………500
§18.1解線性方程組的方法和理論………………………………………………500
§18.2解含有參數(shù)的線性方程組……………………………………………506
§18.3在解析幾何中的應(yīng)用………………………………………………………510
練習(xí)十八………………………………………………………………………………514
第十九章向量與向量空間………………………………………………………………517
§19.1　向量的概念和線性關(guān)系……………………………………………………517
19.1.1　向量的一些基本概念……………………………………………………517
.19.1.2　向量的線性關(guān)系…………………………………………………………517
19.1.3　向量線性關(guān)系的理論……………………………………………………520
§19.2　向量空間的一些基本的概念………………………………………………523
19.2.1　向量空間及子空間………………………………………………………523
19.2.2基，坐標(biāo)及基變換、坐標(biāo)變換……………………………………………525
19.2.3　內(nèi)積和標(biāo)準(zhǔn)正交基………………………………………………………527
§19.3用向量的觀點(diǎn)來(lái)看矩陣和線性方程組……………………………………529
§19.4兩組貫串前四章的典型題…………………………………………………532
練習(xí)十九………………………………………………………………………………535
第二十章矩陣的相似(特征值和特征向量)……………………………………………540
§20.1矩陣的相似和對(duì)角化………………………………………………………540
§20.2相似的理論和應(yīng)用…………………………………………………………545
§20.3　實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化………………………………………………………552
20.3.1實(shí)對(duì)稱矩陣………………………………………………………………552
20.3.2正交矩陣的性質(zhì)…………………………………………………………555
練習(xí)二十………………………………………………………………………………557
第二十一章二次型………………………………………………………………………561
§21.1二次型及標(biāo)準(zhǔn)形(矩陣的合同)……………………………………………561
21.1.1　二次型的定義及其矩陣表示……………………………………………561
21.1.2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形，矩陣的合同…………………………………562
§21.2正定二次型(正定矩陣)……………………………………………………568
§21.3矩陣的等價(jià)、相似、合同……………………………………………………573
21.3.1定義、判別法和性質(zhì)……………………………………………………574
21.3.2應(yīng)用………………………………………………………………………576
§21.4第三組題……………………………………………………………………577
練習(xí)二十一……………………………………………………………………………579
第二十二章概率論的基本概念…………………………………………………………584
§22.1　隨機(jī)事件與概率……………………………………………………………584
22.1.1隨機(jī)事件…………………………………………………………………584
22.1.2概率………………………………………………………………………586
22.1.3古典概率問(wèn)題的計(jì)算………………………………………………589
22.1.4)l-何概率的計(jì)算…………………………………………………………590
§22.2隨機(jī)變量及其分布…………………………………………………………591
22.2.1　離散型隨機(jī)變量…………………………………………………………591
22.2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)……………………………………………………596
22.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量…………………………………………………………597
練習(xí)二十二……………………………………………………………………………603
第二十三章條件概率與條件分布………………………………………………………610
§23.1條件概率及有關(guān)公式………………………………………………………610
23.1.1條件概率…………………………………………………………………610
23.1.2乘法公式…………………………………………………………………611
23.1.3全概率公式………………………………………………………………612
23.1.4貝葉斯公式………………………………………………………………613
§23.2條件分布……………………………………………………………………614
23.2.1條件分布律………………………………………………………………614
23.2.2條件密度函數(shù)……………………………………………………………616
練習(xí)二十三……………………………………………………………………………617
第二十四章隨機(jī)變量的進(jìn)一步討論……………………………………………………621
§24.1　隨機(jī)變量的數(shù)字特征………………………………………………………621
24.1.1　隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差………………………………………621
24.1.2協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)………………………………………………………625
24.1.3矩…………………………………………………………………………626
24.1.4隨機(jī)變量之間關(guān)系小結(jié)…………………………………………………627
§24.2隨機(jī)變量函數(shù)的分布………………………………………………………629
24.2.1　離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布…………………………………………629
24.2.2一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布………………………………………630
24.2.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布………………………………………631
§24.3極限定理……………………………………………………………………634
練習(xí)二十四……………………………………………………………………………636
第二十五章數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步………………………………………………………………647
§25.1基本概念……………………………………………………………………647
§25.2參數(shù)估計(jì)……………………………………………………………………652
§25.3假設(shè)檢驗(yàn)……………………………………………………………………660
練習(xí)二十五……………………………………………………………………………665