大學文科數(shù)學

序言
前言
第一篇必修課程
第一章微積分的基礎問題--集合.實數(shù).極限
§1極限.實數(shù)與集合在微積分中的作用
§2實數(shù)系的建立及鄰域概念
2.1實數(shù)系的演變及性質
2.2刻畫極限的鄰域概念
§3變量無限變化的數(shù)學模型--極限
3.1從分形幾何中Koch雪花的周長談起--數(shù)列極限
3.2函數(shù)極限
3.3無窮小量
3.4極限的四則運算
數(shù)學家啟示錄(1)
(一)數(shù)學之神--阿基米德
(二)我國古代偉大數(shù)學家--祖沖之
習題一
第二章微積分的研究對象--函數(shù).連續(xù)函數(shù)
§1微積分的主要研究對象--初等函數(shù)
1.1變量相依關系的數(shù)學模型--函數(shù)
1.2逆向思維一例--反函數(shù)
1.3基本初等函數(shù)
1.4復合函數(shù)
1.5初等函數(shù)的含義
§2MM能力培養(yǎng)--構建函數(shù)模型的步驟和方法
2.1構建函數(shù)模型的步驟和方法
2.2函數(shù)模型舉例
§3變量連續(xù)變化的數(shù)學模型--連續(xù)函數(shù)
3.1連續(xù)函數(shù)的概念和連續(xù)函數(shù)求極限的法則
3.2初等函數(shù)的連續(xù)性
3.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質
數(shù)學家啟示錄(2)
雙目失明的數(shù)學家--歐拉
習題二
第三章變量變化速度與局部改變量估值問題--導數(shù)與微分
§1函數(shù)的局部變化率--導數(shù)
1.1抽象導數(shù)概念的兩個現(xiàn)實原型
1.2導數(shù)概念
1.3求導過程的哲學分析
1.4左導數(shù)和右導數(shù)
1.5函數(shù)的連續(xù)性與可導性之間的關系
1.6高階導數(shù)的概念
§2求導數(shù)的方法--法則與公式
2.1求導法則
2.2基本初等函數(shù)的求導公式
§3局部改變量的估值問題--微分及其運算
3.1微分
3.2微分公式和法則
3.3微分在近似計算中的應用
§4早期微積分的邏輯矛盾--牛頓的流數(shù)法和第二次數(shù)學危機
數(shù)學家啟示錄(3)
科學巨擘--牛頓
習題三
第四章導數(shù)的應用問題--洛必達法則.函數(shù)的性質和圖像
§1聯(lián)結局部與整體的紐帶--中值定理
1.1費馬定理
1.2中值定理(拉格朗日)
§2計算不定式極限的一般方法--洛必達法則
2.1兩個基本類型不定式
2.2其他類型的不定式
§3用導數(shù)研究函數(shù)的性質--單調性.極值和最大最小值
3.1函數(shù)的單調性
3.2函數(shù)的極值
3.3函數(shù)的最大值和最小值
§4利用導數(shù)研究函數(shù)的圖像--曲線的繪制
4.1曲線的彎曲方向--凹凸性
4.2利用導數(shù)繪制函數(shù)的圖像
數(shù)學家啟示錄(4)
業(yè)余數(shù)學家之王--費馬
習題四
第五章微分的逆運算問題--不定積分
§1逆向思維又一例--原函數(shù)與不定積分
1.1原函數(shù)與不定積分的概念
1.2基本積分公式
1.3不定積分的線性運算法則
§2矛盾轉化法--換元積分法與分部積分法
2.1換元積分法
2.2分部積分法
數(shù)學家啟示錄(5)
符號大師--萊布尼茨
習題五
第六章求總量的問題--定積分
§1特殊和式的極限--定積分的概念
1.1抽象定積分概念的兩個現(xiàn)實原型
1.2定積分的概念
1.3求定積分過程中的辯證思維
1.4可積條件
1.5定積分的性質
§2計算定積分的一般方法--微積分基本定理
2.1微積分基本定理
2.2定積分的換元積分法和分部積分法
§3定積分的拓展--非正常積分
§4定積分魅力的顯示--在若干學科中的應用
4.1微元法
4.2在幾何學中的應用
4.3在物理學中的應用--變力作功
數(shù)學家啟示錄(6)
微積分學在中國的最早傳播人--李善蘭
習題六
第七章偶然中蘊含必然的問題--概率統(tǒng)計初步
§1研究偶然現(xiàn)象的基本元素--隨機事件
1.1隨機現(xiàn)象及其描述
1.2事件的關系及運算
§2偶然中的必然--概率
2.1概率的定義
2.2條件概率
2.3全概率公式和貝葉斯公式
§3隨機現(xiàn)象的函數(shù)化--隨機變量
3.1隨機變量的概念
3.2離散型隨機變量
3.3連續(xù)型隨機變量
§4隨機現(xiàn)象整體特征的描述--期望值
4.1加權平均數(shù)
4.2期望值
§5隨機現(xiàn)象離散程度的描述--方差
5.1方差和標準差
5.2方差的性質
§6由部分刻畫整體的基礎--統(tǒng)計
6.1總體和樣本
6.2統(tǒng)計量和統(tǒng)計量的分布
§7由部分刻畫整體的方法--統(tǒng)計推斷
7.1參數(shù)估計
7.2假設檢驗
§8建立線性函數(shù)的買驗方法--一元線性回歸分析
8.1一元線性回歸方程的建立
8.2回歸方程的相關性檢驗
數(shù)學家啟示錄(7)
早期研究平均值的科學家--帕斯卡
習題七
第二篇限修課程
第八章處理線性關系的數(shù)學問題--線性代數(shù)概述
§1一種特殊數(shù)--行列式
1.1行列式的定義
1.2行列式的性質
§2線性方程組的解法
2.1克拉默法則
2.2消元法
§3應用廣泛的數(shù)表--矩陣
3.1矩陣的概念
3.2矩陣的運算
3.3矩陣的應用
數(shù)學家啟示錄(8)
數(shù)學王子--高斯
習題八
第九章含變化率的方程問題--微分方程淺說
§1微分方程初識--一般概念
1.1例子
1.2一般概念
1.3微分方程及其解的幾何解釋
§2特殊類型微分方程的解法--初等積分法
2.1分離變量法
2.2可化為變量分離方程的方程
2.3一階線性微分方程
§3幾個有趣的實例--若干應用模型
3.1單種群模型與人口問題
3.2遺體死亡年代測定問題
3.3刑事偵察中死亡時間的鑒定問題
3.4學習過程模型
數(shù)學家啟示錄(9)
數(shù)學領域里的一座高聳的金字塔--拉格朗日
習題九
第十章一元微積分的推廣--多元微積分概要
§1二元函數(shù)微積分的預備知識
1.1解析幾何的思想方法
1.2空間直角坐標系
1.3空間曲面與代數(shù)方程
§2二元函數(shù)的極限與連續(xù)性
2.1二元函數(shù)的概念
2.2二元函數(shù)的極限
2.3二元函數(shù)的連續(xù)性
§3偏導數(shù)與全微分
3.1偏導數(shù)及其計算
3.2全微分
§4復合函數(shù)微分法
§5二元函數(shù)的極值
§6二重積分的概念與計算
6.1二重積分的概念與性質
6.2二重積分的計算
數(shù)學家啟示錄(10)
追求新幾何的數(shù)學家--笛卡兒
習題十
第三篇選修課程
第十一章一類管理決策問題--線性規(guī)劃略談
§1一類優(yōu)化問題的數(shù)學抽象--線性規(guī)劃模型
1.1線性規(guī)劃模型的構建
1.2線性規(guī)劃模型的標準形式
§2線性規(guī)劃的一般解法--單純形法
2.1兩個變量線性規(guī)劃的圖解法
2.2線性規(guī)劃問題的代數(shù)解法--單純形法
數(shù)學家啟示錄(11)
自學成才的數(shù)學大師--華羅庚
習題十一
第十二章數(shù)學的普遍性問題--數(shù)學方法論簡介
§1數(shù)學的對象.動力及作用--數(shù)學觀
1.1何為數(shù)學
1.2數(shù)學發(fā)展的動力
1.3數(shù)學對人類文化的作用
§2數(shù)學的特征--數(shù)學的科學性和藝術性
2.1數(shù)學的科學性
2.2數(shù)學的藝術性
2.3數(shù)學美及其特征
§3現(xiàn)實原型量化的基本方法--數(shù)學模型方法
3.1數(shù)學模型方法的含義及分類
3.2數(shù)學模型的構造過程和步驟
§4構建理論體系的基本方法--公理化方法
4.1公理化方法及其基本內容
4.2公理化方法的作用
§5程序化的矛盾轉化法--關系映射反演方法
5.1何謂關系映射反演方法
5.2RMI方法的拓廣及應用
§6數(shù)學推理的兩種形式--合情推理與論證推理
6.1合情推理及其模式
6.2論證推理
數(shù)學家啟示錄(12)
近代數(shù)學巨匠--希爾伯特
附錄一習題答案與提示
附錄二三個數(shù)表
(一)標準正態(tài)分布函數(shù)值表
(二)X2分布臨界值表
(三)相關系數(shù)臨界值表
參考文獻