偏微分方程數(shù)值解法（普通高等教育十五國家級規(guī)劃教材）

目 錄
第一章 邊值問題的變分形式 1
§1 二次函數(shù)的極值 1
§2 兩點邊值問題 3
2.1 弦的平衡 3
2.2 Sobolev空間〖WTBX〗Hm(I)〖WTBZ〗 4
2.3 極小位能原理 8
2.4 虛功原理 12
§3 二階橢圓邊值問題 14
3.1 Sobolev空間〖WTBX〗Hm(G)〖WTBZ〗 14
3.2 極小位能原理 15
3.3 自然邊值條件 18
3.4 虛功原理 20
§4 Ritz-Galerkin方法 21
第二章 橢圓和拋物型方程的有限元法 29
§1 兩點邊值問題的有限元法 29
1.1 從Ritz法出發(fā) 30
1.2 從Galerkin法出發(fā) 35
§2 線性有限元法的誤差估計 39
2.1 〖WTBX〗H1〖WTBZ〗-估計 39
2.2 〖WTBX〗L〖WTBZ〗2-估計 對偶論證法 41
§3 一維高次元 44
3.1 一次元(線性元) 44
3.2 二次元 45
3.3 三次元 47
§4 二維矩形元 51
4.1 Lagrange型公式 51
4.2 Hermite型公式 53
§5 三角形元 55
5.1 面積坐標及有關公式 56
5.2 Lagrange型公式 57
5.3 Hermite型公式 58
*§6 曲邊元和等參變換 60
§7 二階橢圓方程的有限元法 65
7.1 有限元方程的形成 65
7.2 矩陣元素的計算 66
7.3 邊值條件的處理 68
7.4 舉例 70
*§8 收斂階的估計 75
§9 拋物方程的有限元法 78
第三章 橢圓型方程的有限差分法 82
§1 差分逼近的基本概念 82
§2 兩點邊值問題的差分格式 86
2.1 直接差分化 86
2.2 積分插值法 89
2.3 邊值條件的處理 91
§3 二維橢圓邊值問題的差分格式 93
3.1 五點差分格式 93
3.2 邊值條件的處理 96
3.3 極坐標形式的差分格式 98
§4 極值定理 斂速估計 101
4.1 差分方程 101
4.2 極值定理 103
4.3 五點格式的斂速估計 104
*§5 先驗估計 106
5.1 差分公式 107
5.2 若干不等式 108
5.3 先驗估計 110
5.4 解的存在惟一性及斂速估計 112
§6 有限體積法 113
6.1 三角網(wǎng)的差分格式 113
6.2 有限體積法 117
第四章 拋物型方程的有限差分法 124
§1 最簡差分格式 124
§2 穩(wěn)定性與收斂性 130
2.1 穩(wěn)定性概念 130
2.2 判別穩(wěn)定性的直接估計法 132
2.3 收斂性和誤差估計 134
§3 Fourier方法 136
§4 判別差分格式穩(wěn)定性的代數(shù)準則 141
*§5 變系數(shù)拋物方程 147
§6 分數(shù)步長法 151
6.1 ADI法 151
6.2 預-校法 154
6.3 LOD法 155
§7 有限體積法 156
第五章 雙曲型方程的有限差分法 158
§1 波動方程的差分逼近 158
1.1 波動方程及其特征 158
1.2 顯格式 159
1.3 穩(wěn)定性分析 161
1.4 隱格式 164
1.5 強迫振動 165
§2 一階雙曲型方程組 166
2.1 雙曲型方程組 特征概念 166
2.2 Cauchy問題 依存域 影響域 決定域 169
2.3 其他定解問題 171
2.4 擬線性雙曲方程組 173
*2.5 一維不定常流 175
§3 雙曲方程差分格式的構造 178
3.1 迎風格式 178
3.2 Lax格式與Box格式 181
3.3 粘性差分格式 Lax-Wendroff格式 183
*§4 Godunov格式 守恒型格式 單調(diào)格式 186
4.1 Godunov格式 186
4.2 守恒型格式 189
4.3 單調(diào)格式 190
*§5 有限體積法 192
第六章 離散化方程的解法 196
§1 基本迭代法 196
1.1 離散方程的基本特征 196
1.2 一般迭代法 199
1.3 超松弛法(SOR法) 201
1.4 預處理迭代法 202
§2 交替方向迭代法 204
2.1 二維交替方向迭代 205
2.2 三維交替方向迭代 208
§3 預處理共軛梯度法 210
3.1 共軛梯度法 210
3.2 預處理共軛梯度法 211
§4 多重網(wǎng)格法 215
4.1 二重網(wǎng)格法：差分形式 215
*4.2 二重網(wǎng)格法：有限元形式 217
4.3 多重網(wǎng)格法和套迭代技術 220
4.4 推廣到多維問題 221
主要參考文獻 223