計算方法

第1章  緒論        1
1.1  引言        1
1.2  誤差的基本概念        4
1.3  浮點數(shù)系        8
1.4  計算復(fù)雜性和收斂速度        11
1.5  敏度分析與誤差分析        12
1.6  常用數(shù)學(xué)軟件介紹        14
習(xí)題        19
上機習(xí)題        21
第2章  多項式插值方法        22
2.1  引言        22
2.2  插值多項式的存在惟一性        23
2.3  Lagrange插值方法        25
2.4  Newton插值方法        28
2.5  分段低階多項式插值方法        33
2.5.1  Runge現(xiàn)象        33
2.5.2  分段線性插值方法        35
2.5.3  兩點三次Hermite插值方法        37
2.5.4  分段三次Hermite插值方法        39
2.5.5  三次樣條插值方法        41
習(xí)題        44
上機習(xí)題        46
第3章  數(shù)值微分與數(shù)值積分        48
3.1  引言        48
3.2  數(shù)值微分        48
3.2.1  差商型求導(dǎo)公式        48
3.2.2  插值型求導(dǎo)公式        52
3.3  數(shù)值積分        55
3.3.1  數(shù)值積分的基本概念        55
3.3.2  中點公式、梯形公式與Simpson公式        56
3.3.3  復(fù)合求積公式        58
3.3.4  加速收斂技術(shù)與Romberg求積方法        62
3.3.5  Gauss求積公式        64
3.3.6  積分方程的數(shù)值解        70
習(xí)題        71
上機習(xí)題        74
第4章  線性方程組的數(shù)值解法        77
4.1  消元法        78
4.1.1  三角形方程組的解法        79
4.1.2  消元法和矩陣的三角分解        80
4.1.3  列選主元的三角分解        84
4.2  平方根法和追趕法        87
4.2.1  平方根法        88
4.2.2  追趕法        91
4.3  敏感性與穩(wěn)定性分析        93
4.3.1  向量范數(shù)和矩陣范數(shù)        94
4.3.2  線性方程組的敏感性分析        95
4.3.3  數(shù)值方法的穩(wěn)定性分析        97
4.4  古典迭代法        98
4.4.1  基本迭代法        99
4.4.2  收斂性分析        102
4.4.3  收斂速度        104
4.5  Krylov子空間方法        105
4.5.1  最速下降法        106
4.5.2  共軛梯度法        108
4.5.3  廣義極小剩余法        112
習(xí)題        115
上機習(xí)題        119
第5章  最小二乘問題的數(shù)值解法        123
5.1  引言        123
5.2  變換法        126
5.3  正交分解法        128
5.3.1  Householder變換        130
5.3.2  Givens變換        133
5.3.3  計算QR分解的Householder方法        134
5.4  虧秩最小二乘問題的數(shù)值解法        136
習(xí)題        138
上機習(xí)題        139
第6章  矩陣特征值和特征向量的計算        141
6.1  基本迭代法        142
6.1.1  冪法        142
6.1.2  反冪法        145
6.1.3  Rayleigh商迭代        147
6.1.4  收縮技巧        149
6.1.5  子空間迭代法        150
6.2  QR方法        152
習(xí)題        159
上機習(xí)題        161
第7章  非線性方程(組)與無約束最優(yōu)化問題的數(shù)值解法        163
7.1  引言        163
7.2  非線性方程的迭代解法        164
7.2.1  對分區(qū)間法        164
7.2.2  不動點迭代法        166
7.2.3  Newton迭代法        170
7.3  非線性方程組的迭代解法        173
7.3.1  非線性古典迭代法        174
7.3.2  Newton迭代法及其改進算法        175
7.4  無約束最優(yōu)化問題的迭代解法        179
7.4.1  一維搜索法        180
7.4.2  最速下降法        184
7.4.3  共軛梯度法        186
7.4.4  Newton法        187
7.4.5  擬Newton法        188
7.5  非線性最小二乘問題        192
7.5.1  Gauss-Newton法        194
7.5.2  Levenberg-Marquardt方法        196
習(xí)題        197
上機習(xí)題        199
第8章  常微分方程初值問題的數(shù)值解法        203
8.1  基本概念        203
8.2  Euler方法        205
8.2.1  Euler格式及其穩(wěn)定性        205
8.2.2  局部誤差和方法的階        209
8.2.3  Euler方法的誤差分析        211
8.3  Runge-Kutta方法        213
8.3.1  Runge-Kutta方法的基本思想        213
8.3.2  顯式Runge-Kutta方法及其穩(wěn)定性        217
8.3.3  隱式Runge-Kutta方法        222
8.4  線性多步法與預(yù)估-校正格式        226
8.5  方程組及高階方程數(shù)值解法        230
8.6  分子動力學(xué)的數(shù)值方法        232
習(xí)題        234
上機習(xí)題        235
第9章  偏微分方程數(shù)值解法        237
9.1  引言        237
9.2  拋物型方程的差分方法        238
9.3  雙曲型方程的差分方法        250
9.4  橢圓型方程的有限元方法        257
9.4.1  兩點邊值問題的Galerkin方法與有限元方法        257
9.4.2  二維Poisson方程的有限元方法        265
習(xí)題        271
上機習(xí)題        273
第10章  快速算法        274
10.1  快速Fourier變換        274
10.1.1  離散Fourier變換        274
10.1.2  快速算法        276
10.1.3  應(yīng)用舉例        281
10.2  預(yù)處理加速技術(shù)        282
10.3  迭代法的磨光性質(zhì)        285
10.3.1  兩點邊值問題        286
10.3.2  Richardson迭代        286
10.3.3  迭代的光滑作用        288
10.4  多重網(wǎng)格法簡介        291
10.4.1  粗網(wǎng)格校正和二重網(wǎng)格方法        291
10.4.2  多重粗網(wǎng)格校正和多重網(wǎng)格方法        295
習(xí)題        297
上機習(xí)題        298
第11章  隨機模擬方法        299
11.1  Monte Carlo方法        299
11.1.1  引言        299
11.1.2  隨機數(shù)的產(chǎn)生        303
11.1.3  減小方差技巧        309
11.1.4  Metropolis算法        316
11.1.5  模擬退火算法        326
11.1.6  擬Monte Carlo方法        331
11.2  隨機微分方程的數(shù)值解        336
11.2.1  引言        336
11.2.2  隨機過程        337
11.2.3  Brown運動        340
11.2.4  隨機微分方程與It?積分        345
11.2.5  隨機微分方程的數(shù)值解        353
習(xí)題        359
上機習(xí)題        359
參考文獻        361