光學(xué)

　　為了區(qū)別于時(shí)下被廣泛使用的“經(jīng)典”一詞，本書(shū)之稱(chēng)之為“科學(xué)元典”，本“經(jīng)典”不通于歌迷們所說(shuō)的經(jīng)典”，也不于表演藝術(shù)家們朗誦的“科學(xué)經(jīng)典名著”。受歌迷歡迎的流行歌曲所說(shuō)的“經(jīng)典”，實(shí)際上是時(shí)尚的東西，其含義與我們所說(shuō)的代表傳統(tǒng)的經(jīng)典恰恰相反。表演藝術(shù)家們朗誦的“科學(xué)經(jīng)典名著”多是表現(xiàn)科學(xué)家們的情感和生活態(tài)度的散文，甚至反映科學(xué)家生活的話(huà)劇臺(tái)詞，它們可能膾炙人口，是否屬于人文領(lǐng)域里的經(jīng)典姑且不論，但基本上沒(méi)有科學(xué)內(nèi)容。并非著名科學(xué)大師的一切言論或者是廣為流傳的作品都是科學(xué)經(jīng)典。這里所謂的科學(xué)元典，是指科學(xué)經(jīng)典中最基本、最重要的著作，是在人類(lèi)智識(shí)史和人類(lèi)文明史上劃時(shí)代的豐碑，是理性精神的載體，具有永恒的價(jià)值。科學(xué)元典是科學(xué)史和人類(lèi)文明史上劃時(shí)代的豐碑，是人類(lèi)文化的優(yōu)秀遺產(chǎn)，是歷經(jīng)時(shí)間考驗(yàn)的不朽之作。它們不僅是偉大的科學(xué)創(chuàng)造的結(jié)晶，而且是科學(xué)精神、科學(xué)思想和科學(xué)方法的載體，具有永恒的意義和價(jià)值。

　　艾薩克·牛頓簡(jiǎn)介艾薩克·牛頓，Physics] newton（儒略歷1642年12月25日-1727年3月20日 格里歷（陽(yáng)歷）1643年1月4日-1727年3月31日）是英國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家，同時(shí)他也是一個(gè)神學(xué)愛(ài)好者，晚年曾著力研究神學(xué)。1643年1月4日生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近的沃爾索普村，1727年3月20日在倫敦病逝?！∨ｎD1661年入英國(guó)劍橋大學(xué)三一學(xué)院，1665年獲文學(xué)士學(xué)位。隨后兩年在家鄉(xiāng)躲避瘟疫。這兩年里，他制定了一生大多數(shù)重要科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖。1667年回劍橋后當(dāng)選為三一學(xué)院院委，次年獲碩士學(xué)位。1669年任盧卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造幣廠(chǎng)監(jiān)督，并移居倫敦。1703年任英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)。1706年受女王安娜封爵。他晚年潛心于自然哲學(xué)與神學(xué)。　牛頓在科學(xué)上最卓越的貢獻(xiàn)是創(chuàng)建了微積分和經(jīng)典力學(xué)。艾薩克·牛頓的名言1、如果說(shuō)我所看的比笛卡爾更遠(yuǎn)一點(diǎn)，那是因?yàn)檎驹诰奕思缟系木壒?。：牛頓（英國(guó)）　2、無(wú)知識(shí)的熱心，猶如在黑暗中遠(yuǎn)征。：牛頓（英國(guó)）　3、你該將名譽(yù)作為你最高人格的標(biāo)志。：牛頓（英國(guó)）　4、我的成就，當(dāng)歸功于精微的思索。：牛頓（英國(guó)）　5、你若想獲得知識(shí)，你該下苦功；你若想獲得食物，你該下苦功；你若想得到快樂(lè)，你也該下苦功，因?yàn)樾量嗍谦@得一切的定律。：牛頓（英國(guó)）　6、聰明人之所以不會(huì)成功，是由于他們?nèi)狈?jiān)韌的毅力。：牛頓（英國(guó)）　7、勝利者往往是從堅(jiān)持最后五分鐘的時(shí)間中得來(lái)成功。：牛頓（英國(guó)）　8、我不知道世人怎樣看我，但我自己以為我不過(guò)像一個(gè)在海邊玩耍的孩子，不時(shí)為發(fā)現(xiàn)比尋常更為美麗的一塊卵石或一片貝殼而沾沾自喜，至于展現(xiàn)在我面前的浩翰的真理海洋，卻全然沒(méi)有發(fā)現(xiàn)。：牛頓（英國(guó)）力學(xué)單位，國(guó)際單位單位制導(dǎo)出單位牛頓（國(guó)際單位），一種衡量受力大小的國(guó)際單位。在物理中牛頓（Newton，符號(hào)為N）是力的公制單位。它是以發(fā)現(xiàn)經(jīng)典力學(xué)的艾薩克·牛頓（Sir Isaac Newton）命名。牛頓是一個(gè)國(guó)際單位制導(dǎo)出單位，它是由kg·m·s·2的國(guó)際單位制基本單位導(dǎo)出，能使一千克質(zhì)量的物體獲得1米每二次方秒的加速度所需的力的大小定義為1牛頓。牛頓-拉夫遜法牛頓法（Newtons method）又稱(chēng)為牛頓-拉夫遜方法（Newton-Raphson method），它是一種在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法。方法使用函數(shù)f（x）的泰勒級(jí)數(shù)的前面幾項(xiàng)來(lái)尋找方程f（x） = 0的根。牛頓與二項(xiàng)式定理在一六六五年，剛好二十二歲的牛頓發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理，這對(duì)于微積分的充分發(fā)展是必不可少的一步。二項(xiàng)式定理把能為直接計(jì)算所發(fā)現(xiàn)的　等簡(jiǎn)單結(jié)果推廣如下的形式推廣形式二項(xiàng)式級(jí)數(shù)展開(kāi)式是研究級(jí)數(shù)論、函數(shù)論、數(shù)學(xué)分析、方程理論的有力工具。在今天我們會(huì)發(fā)覺(jué)這個(gè)方法只適用于ｎ是正整數(shù)，當(dāng)ｎ是正整數(shù)１，２，３，....... ，級(jí)數(shù)終止在正好是ｎ＋１項(xiàng)。如果ｎ不是正整數(shù)，級(jí)數(shù)就不會(huì)終止，這個(gè)方法就不適用了。但是我們要知道那時(shí)，萊布尼茨在一六九四年才引進(jìn)函數(shù)這個(gè)詞，在微積分早期階段，研究超越函數(shù)時(shí)用它們的級(jí)來(lái)處理是所用方法中最有成效的。創(chuàng)建微積分牛頓在數(shù)學(xué)上最卓越的成就是創(chuàng)建微積分。他超越前人的功績(jī)?cè)谟冢麑⒐畔ＥD以來(lái)求解無(wú)限小問(wèn)題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類(lèi)普遍的算法：微分和積分，并確立了這兩類(lèi)運(yùn)算的互逆關(guān)系，如：面積計(jì)算可以看作求切線(xiàn)的逆過(guò)程。那時(shí)萊布尼茲剛好亦提出微積分研究報(bào)告，更因此引發(fā)了一場(chǎng)微積分發(fā)明專(zhuān)利權(quán)的爭(zhēng)論，直到萊氏去世才停息。而后世己認(rèn)定微積是他們同時(shí)發(fā)明的。微積分方法上，牛頓所作出的極端重要的貢獻(xiàn)是，他不但清楚地看到，而且大膽地運(yùn)用了代數(shù)所提供的大大優(yōu)越于幾何的方法論。他以代數(shù)方法取代了卡瓦列里、格雷哥里、惠更斯和巴羅的幾何方法，完成了積分的代數(shù)化。從此，數(shù)學(xué)逐漸從感覺(jué)的學(xué)科轉(zhuǎn)向思維的學(xué)科。微積產(chǎn)生的初期，由于還沒(méi)有建立起鞏固的理論基礎(chǔ)，被有些別有用心者鉆空子。更因此而引發(fā)了著名的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。這個(gè)問(wèn)題直到十九世紀(jì)極限理論建立，才得到解決。推進(jìn)方程論，開(kāi)拓變分法牛頓在代數(shù)方面也作出了經(jīng)典的貢獻(xiàn)，他的《廣義算術(shù)》大大推動(dòng)了方程論。他發(fā)現(xiàn)實(shí)多項(xiàng)式的虛根必定成雙出現(xiàn)，求多項(xiàng)式根的上界的規(guī)則，他以多項(xiàng)式的系數(shù)表示多項(xiàng)式的根ｎ次冪之和公式，給出實(shí)多項(xiàng)式虛根個(gè)數(shù)的限制的笛卡兒符號(hào)規(guī)則的一個(gè)推廣。牛頓在還設(shè)計(jì)了求數(shù)值方程的實(shí)根近似值的對(duì)數(shù)和超越方程都適用的一種方法，該方法的修正，現(xiàn)稱(chēng)為牛頓方法。牛頓在力學(xué)領(lǐng)域也有偉大的發(fā)現(xiàn)，這是說(shuō)明物體運(yùn)動(dòng)的科學(xué)。第-運(yùn)動(dòng)定律是伽利略發(fā)現(xiàn)的。這個(gè)定律闡明，如果物體處于靜止或作恒速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，那么只要沒(méi)有外力作用，它就仍將保持靜止或繼續(xù)作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。這個(gè)定律也稱(chēng)慣性定律，它描述了力的一種性質(zhì)：力可以使物體由靜止到運(yùn)動(dòng)和由運(yùn)動(dòng)到靜止，也可以使物體由一種運(yùn)動(dòng)形式變化為另一種形式。此被稱(chēng)為牛頓第一定律。力學(xué)中最重要的問(wèn)題是物體在類(lèi)似情況下如何運(yùn)動(dòng)。牛頓第二定律解決了這個(gè)問(wèn)題；該定律被看作是古典物理學(xué)中最重要的基本定律。牛頓第二定律定量地描述了力能使物體的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生變化。它說(shuō)明速度的時(shí)間變化率（即加速度a與力F成正比，而與物體的質(zhì)量里成反比，即a=F/m或F＝ma；力越大，加速度也越大；質(zhì)量越大，加速度就越小。力與加速度都既有量值又有方向。加速度由力引起，方向與力相同；如果有幾個(gè)力作用在物體上，就由合力產(chǎn)生加速度，第二定律是最重要的，動(dòng)力的所有基本方程都可由它通過(guò)微積分推導(dǎo)出來(lái)。此外，牛頓根據(jù)這兩個(gè)定律制定出第三定律。牛頓第三定律指出，兩個(gè)物體的相互作用總是大小相等而方向相反。對(duì)于兩個(gè)直接接觸的物體，這個(gè)定律比較易于理解。書(shū)本對(duì)子桌子向下的壓力等于桌子對(duì)書(shū)本的向上的托力，即作用力等于反作用力。引力也是如此，飛行中的飛機(jī)向上拉地球的力在數(shù)值上等于地球向下拉飛機(jī)的力。牛頓運(yùn)動(dòng)定律廣泛用于科學(xué)和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題上。牛頓運(yùn)動(dòng)定律牛頓運(yùn)動(dòng)定律是伊薩克·牛頓提出了物理學(xué)的三個(gè)運(yùn)動(dòng)定律的總稱(chēng)，被譽(yù)為是經(jīng)典物理學(xué)的基礎(chǔ)。為“牛頓第一定律（慣性定律：一切物體在不受任何外力的作用下，總保持勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或靜止?fàn)顟B(tài)，直到有外力迫使它改變這種狀態(tài)為止。：它明確了力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系及提出了慣性的概念）”、“牛頓第二定律（物體的加速度跟物體所受的合外力F成正比，跟物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。）公式：F=ma”、“牛頓第三定律（兩個(gè)物體之間的作用力和反作用力，在同一條直線(xiàn)上，大小相等，方向相反。）”牛頓法解非線(xiàn)性方程f（x）=0的牛頓（Newton） 法，就是將非線(xiàn)性方程線(xiàn)性化的一種方法。它是解代數(shù)方程和超越方程的有效方法之 一。一 牛頓法的基本思想把非線(xiàn)性函數(shù)f（x）在 處展開(kāi)成 泰勒級(jí)數(shù)f（x）=f（ ）+（x- ）f′（ ）+（x- ） + …取其線(xiàn)性部分，作為非線(xiàn)性方程f（x）=0的近似方程，則有f（ ）+（x- ） f′（ ）=0設(shè)f′（ ）≠0，則其解為x = - （1）再把f（x）在x 處展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，取其線(xiàn)性部分為f（x）=0的近似方程，若f′（x ） ≠0，則得x = - 如此繼續(xù)下去，得到牛頓法的迭代公式：x = -  （n=0，1，2，…） （2）例1 用牛頓法求方程f（x）=x +4x -10=0在［1，2］內(nèi)一個(gè)實(shí)根，取初始近似值x =1.5。 解 f′（x）=3x +8x所以迭代公式為：x = - n=0，1， 2，…其它Apple Newton，由蘋(píng)果電腦公司制造的掌上電腦。Newton世界上第一款掌上電腦，由蘋(píng)果電腦公司于1993年開(kāi)始制造，但是因?yàn)閚ewton在市場(chǎng)上找不到其定位而需求量低而停止發(fā)展，1997年停止了生產(chǎn)。牛頓的勤奮學(xué)習(xí)一談到近代科學(xué)開(kāi)創(chuàng)者牛頓，人們可能認(rèn)為他小時(shí)候一定是個(gè)“神童”、“天才”、有著非凡的智力。其實(shí)不然，牛頓童年身體瘦弱，頭腦并不聰明。在家鄉(xiāng)讀書(shū)的時(shí)候，很不用功，在班里的學(xué)習(xí)成績(jī)屬于次等。但他的興趣卻是廣泛的，游戲的本領(lǐng)也比一般兒童高。牛頓愛(ài)好制作機(jī)械模型一類(lèi)的玩藝兒，如風(fēng)車(chē)、水車(chē)、日晷等等。他精心制作的一只水鐘，計(jì)時(shí)較準(zhǔn)確，得到了人們的贊許。有時(shí)，他玩的方法也很奇特。一天，他作了一盞燈籠掛在風(fēng)箏尾巴上。當(dāng)夜幕降臨時(shí)，點(diǎn)燃的燈籠借風(fēng)箏上升的力升入空中。發(fā)光的燈籠在空中流動(dòng)，人們大驚，以為是出現(xiàn)了彗星。盡管如此，因?yàn)樗麑W(xué)習(xí)成績(jī)不好，還是經(jīng)常受到歧視?！r(shí)間對(duì)人是一視同仁的，給人以同等的量，但人對(duì)時(shí)間的利用不同，而所得的知識(shí)也大不一樣?！∨ｎD十六歲時(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)還很膚淺，對(duì)高深的數(shù)學(xué)知識(shí)甚至可以說(shuō)是不懂。“知識(shí)在于積累，聰明來(lái)自學(xué)習(xí)”。牛頓下決心靠自己的努力攀上數(shù)學(xué)的高峰。在基礎(chǔ)差的不利條件下，牛頓能正確認(rèn)識(shí)自己，知難而進(jìn)。他從基礎(chǔ)知識(shí)、基本公式重新學(xué)起，扎扎實(shí)實(shí)、步步推進(jìn)。他研究完了歐幾里德幾何學(xué)后，又研究笛卡兒幾何學(xué)，對(duì)比之下覺(jué)得歐幾里德幾何學(xué)膚淺，便悉心鉆研笛氏幾何學(xué)，直到掌握要領(lǐng)、融會(huì)貫通。遂之發(fā)明了代數(shù)二項(xiàng)式定理。傳說(shuō)中牛頓“大暴風(fēng)中算風(fēng)力”的佳話(huà)，可為牛頓身體力學(xué)的佐證。有一天，天刮著大風(fēng)暴。風(fēng)撒野地呼號(hào)著，塵土飛揚(yáng)，迷迷漫漫，使人難以睜眼。牛頓認(rèn)為這是個(gè)準(zhǔn)確地研究和計(jì)算風(fēng)力的好機(jī)會(huì)。于是，便拿著用具，獨(dú)自在暴風(fēng)中來(lái)回奔走。他踉踉蹌蹌、吃力地測(cè)量著。幾次沙塵迷了眼睛，幾次風(fēng)吹走了算紙，幾次風(fēng)使他不得不暫停工作，但都沒(méi)有動(dòng)搖他求知的欲望。他一遍又一遍，終于求得了正確的數(shù)據(jù)。他快樂(lè)極了，急忙跑回家去，繼續(xù)進(jìn)行研究?！∮兄菊呤戮钩?。經(jīng)過(guò)勤奮學(xué)習(xí)，牛頓為自己的科學(xué)高塔打下了深厚的基礎(chǔ)。不久，牛頓的數(shù)學(xué)高塔就建成了，二十二歲時(shí)發(fā)明了微分學(xué)，二十三歲時(shí)發(fā)明了積分學(xué)，為人類(lèi)科學(xué)事業(yè)作出了巨大貢獻(xiàn)?！∨ｎD是個(gè)十分謙虛的人，從不自高自大。曾經(jīng)有人問(wèn)牛頓：“你獲得成功的秘訣是什么·”牛頓回答說(shuō)：“假如我有一點(diǎn)微小成就的話(huà)，沒(méi)有其它秘訣，唯有勤奮而已?！鄙倌昱ｎD　1643年1月4日，在英格蘭林肯郡小鎮(zhèn)沃爾索浦的一個(gè)自耕農(nóng)家庭里，牛頓誕生了。牛頓是一個(gè)早產(chǎn)兒，出生時(shí)只有三磅重，接生婆和他的親人都擔(dān)心他能否活下來(lái)。誰(shuí)也沒(méi)有料到這個(gè)看起來(lái)微不足道的小東西會(huì)成為了一位震古爍今的科學(xué)巨人，并且竟活到了84歲的高齡。牛頓出生前三個(gè)月父親便去世了。在他兩歲時(shí)，母親改嫁給一個(gè)牧師，把牛頓留在外祖母身邊撫養(yǎng)。11歲時(shí)，母親的后夫去世，母親帶著和后夫所生的一子二女回到牛頓身邊。牛頓自幼沉默寡言，性格倔強(qiáng)，這種習(xí)性可能來(lái)自它的家庭處境。大約從五歲開(kāi)始，牛頓被送到公立學(xué)校讀書(shū)。少年時(shí)的牛頓并不是神童，他資質(zhì)平常，成績(jī)一般，但他喜歡讀書(shū)，喜歡看一些介紹各種簡(jiǎn)單機(jī)械模型制作方法的讀物，并從中受到啟發(fā)，自己動(dòng)手制作些奇奇怪怪的小玩意，如風(fēng)車(chē)、木鐘、折疊式提燈等等。傳說(shuō)小牛頓把風(fēng)車(chē)的機(jī)械原理摸透后，自己制造了一架磨坊的模型，他將老鼠綁在一架有輪子的踏車(chē)上，然后在輪子的前面放上一粒玉米，剛好那地方是老鼠可望不可及的位置。老鼠想吃玉米，就不斷的跑動(dòng)，于是輪子不停的轉(zhuǎn)動(dòng)；又一次他放風(fēng)箏時(shí)，在繩子上懸掛著小燈，夜間村人看去驚疑是彗星出現(xiàn)；他還制造了一個(gè)小水鐘。每天早晨，小水鐘會(huì)自動(dòng)滴水到他的臉上，催他起床。他還喜歡繪畫(huà)、雕刻，尤其喜歡刻日晷，家里墻角、窗臺(tái)上到處安放著他刻畫(huà)的日晷，用以驗(yàn)看日影的移動(dòng)。牛頓12歲時(shí)進(jìn)了離家不遠(yuǎn)的格蘭瑟姆中學(xué)。牛頓的母親原希望他成為一個(gè)農(nóng)民，但牛頓本人卻無(wú)意于此，而酷愛(ài)讀書(shū)。隨著年歲的增大，牛頓越發(fā)愛(ài)好讀書(shū)，喜歡沉思，做科學(xué)小實(shí)驗(yàn)。他在格蘭瑟姆中學(xué)讀書(shū)時(shí)，曾經(jīng)寄宿在一位藥劑師家里，使他受到了化學(xué)試驗(yàn)的熏陶。牛頓在中學(xué)時(shí)代學(xué)習(xí)成績(jī)并不出眾，只是愛(ài)好讀書(shū)，對(duì)自然現(xiàn)象由好奇心，例如顏色、日影四季的移動(dòng)，尤其是幾何學(xué)、哥白尼的日心說(shuō)等等。他還分門(mén)別類(lèi)的記讀書(shū)筆記，又喜歡別出心裁的作些小工具、小技巧、小發(fā)明、小試驗(yàn)。當(dāng)時(shí)英國(guó)社會(huì)滲透基督教新思想，牛頓家里有兩位都以神父為職業(yè)的親戚，這可能影響牛頓晚年的宗教生活。從這些平凡的環(huán)境和活動(dòng)中，還看不出幼年的牛頓是個(gè)才能出眾異于常人的兒童。后來(lái)迫于生活，母親讓牛頓停學(xué)在家務(wù)農(nóng)，贍養(yǎng)家庭。但牛頓一有機(jī)會(huì)便埋首書(shū)卷，以至經(jīng)常忘了干活。每次，母親叫他同傭人一道上市場(chǎng)，熟悉做交易的生意經(jīng)時(shí)，他便懇求傭人一個(gè)人上街，自己則躲在樹(shù)叢后看書(shū)。有一次，牛頓的舅父起了疑心，就跟蹤牛頓上市鎮(zhèn)去，發(fā)現(xiàn)他的外甥伸著腿，躺在草地上，正在聚精會(huì)神地鉆研一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。牛頓的好學(xué)精神感動(dòng)了舅父，于是舅父勸服了母親讓牛頓復(fù)學(xué)，并鼓勵(lì)牛頓上大學(xué)讀書(shū)。牛頓又重新回到了學(xué)校，如饑似渴地汲取著書(shū)本上的營(yíng)養(yǎng)。據(jù)說(shuō)有一次，他去郊外游玩，之后靠在一棵蘋(píng)果樹(shù)下休息，忽然，一個(gè)蘋(píng)果從樹(shù)上掉下來(lái)。他覺(jué)得很奇怪，為什么蘋(píng)果會(huì)從上往下掉而不是從下往上升·他帶著這個(gè)疑問(wèn)回到了家里研究，后來(lái)他通過(guò)論證發(fā)現(xiàn)原來(lái)地球是有引力的能把物體吸住。隨后，就出現(xiàn)了《牛頓物理引力學(xué)》。求學(xué)歲月1661年，19歲的牛頓以減費(fèi)生的身份進(jìn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，靠為學(xué)院做雜務(wù)的收入支付學(xué)費(fèi)，1664年成為獎(jiǎng)學(xué)金獲得者，1665年獲學(xué)士學(xué)位。17世紀(jì)中葉，劍橋大學(xué)的教育制度還滲透著濃厚的中世紀(jì)經(jīng)院哲學(xué)的氣味，當(dāng)牛頓進(jìn)入劍橋時(shí)，那里還在傳授一些經(jīng)院式課程，如邏輯、古文、語(yǔ)法、古代史、神學(xué)等等。兩年后三一學(xué)院出現(xiàn)了新氣象，盧卡斯創(chuàng)設(shè)了一個(gè)獨(dú)辟蹊徑的講座，規(guī)定講授自然科學(xué)知識(shí)，如地理、物理、天文和數(shù)學(xué)課程。講座的第一任教授伊薩克·巴羅是個(gè)博學(xué)的科學(xué)家。這位學(xué)者獨(dú)具慧眼，看出了牛頓具有深邃的觀察力、敏銳的理解力。于是將自己的數(shù)學(xué)知識(shí)，包括計(jì)算曲線(xiàn)圖形面積的方法，全部傳授給牛頓，并把牛頓引向了近代自然科學(xué)的研究領(lǐng)域。在這段學(xué)習(xí)過(guò)程中，牛頓掌握了算術(shù)、三角，讀了開(kāi)普勒的《光學(xué)》，笛卡爾的《幾何學(xué)》和《哲學(xué)原理》，伽利略的《兩大世界體系的對(duì)話(huà)》，胡克的《顯微圖集》，還有皇家學(xué)會(huì)的歷史和早期的哲學(xué)學(xué)報(bào)等。牛頓在巴羅門(mén)下的這段時(shí)間，是他學(xué)習(xí)的關(guān)鍵時(shí)期。巴羅比牛頓大12歲，精于數(shù)學(xué)和光學(xué)，他對(duì)牛頓的才華極為贊賞，認(rèn)為牛頓的數(shù)學(xué)才華超過(guò)自己。后來(lái)，牛頓在回憶時(shí)說(shuō)道：“巴羅博士當(dāng)時(shí)講授關(guān)于運(yùn)動(dòng)學(xué)的課程，也許正是這些課程促使我去研究這方面的問(wèn)題?！碑?dāng)時(shí)，牛頓在數(shù)學(xué)上很大程度是依靠自學(xué)。他學(xué)習(xí)了歐幾里得的《幾何原本》、笛卡兒的《幾何學(xué)》、沃利斯的《無(wú)窮算術(shù)》、巴羅的《數(shù)學(xué)講義》及韋達(dá)等許多數(shù)學(xué)家的著作。其中，對(duì)牛頓具有決定性影響的要數(shù)笛卡兒的《幾何學(xué)》和沃利斯的《無(wú)窮算術(shù)》，它們將牛頓迅速引導(dǎo)到當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)最前沿～解析幾何與微積分。1664年，牛頓被選為巴羅的助手，第二年，劍橋大學(xué)評(píng)議會(huì)通過(guò)了授予牛頓大學(xué)學(xué)士學(xué)位的決定。1665～1666年嚴(yán)重的鼠疫席卷了倫敦，劍橋離倫敦不遠(yuǎn)，為恐波及，學(xué)校因此而停課，牛頓于1665年6月離校返鄉(xiāng)。由于牛頓在劍橋受到數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的熏陶和培養(yǎng)，對(duì)探索自然現(xiàn)象產(chǎn)生濃厚的興趣，家鄉(xiāng)安靜的環(huán)境又使得他的思想展翅飛翔。1665～1666年這段短暫的時(shí)光成為牛頓科學(xué)生涯中的黃金歲月，他在自然科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)思潮奔騰，才華迸發(fā)，思考前人從未思考過(guò)的問(wèn)題，踏進(jìn)了前人沒(méi)有涉及的領(lǐng)域，創(chuàng)建了前所未有的驚人業(yè)績(jī)。1665年初，牛頓創(chuàng)立級(jí)數(shù)近似法，以及把任意冪的二項(xiàng)式化為一個(gè)級(jí)數(shù)的規(guī)則；同年11月，創(chuàng)立正流數(shù)法（微分）；次年1月，用三棱鏡研究顏色理論；5月，開(kāi)始研究反流數(shù)法（積分）。這一年內(nèi)，牛頓開(kāi)始想到研究重力問(wèn)題，并想把重力理論推廣到月球的運(yùn)動(dòng)軌道上去。他還從開(kāi)普勒定律中推導(dǎo)出使行星保持在它們的軌道上的力必定與它們到旋轉(zhuǎn)中心的距離平方成反比。牛頓見(jiàn)蘋(píng)果落地而悟出地球引力的傳說(shuō)，說(shuō)的也是此時(shí)發(fā)生的軼事?？傊诩亦l(xiāng)居住的兩年中，牛頓以比此后任何時(shí)候更為旺盛的精力從事科學(xué)創(chuàng)造，并關(guān)心自然哲學(xué)問(wèn)題。他的三大成就：微積分、萬(wàn)有引力、光學(xué)分析的思想都是在這時(shí)孕育成形的。可以說(shuō)此時(shí)的牛頓已經(jīng)開(kāi)始著手描繪他一生大多數(shù)科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖。1667年復(fù)活節(jié)后不久，牛頓返回到劍橋大學(xué)，10月1日被選為三一學(xué)院的仲院侶（初級(jí)院委），翌年3月16日獲得碩士學(xué)位，同時(shí)成為正院侶（高級(jí)院委）。1669年10月27日，巴羅為了提攜牛頓而辭去了教授之職，26歲的牛頓晉升為數(shù)學(xué)教授，并擔(dān)任盧卡斯講座的教授。巴羅為牛頓的科學(xué)生涯打通了道路，如果沒(méi)有牛頓的舅父和巴羅的幫助，牛頓這匹千里馬可能就不會(huì)馳騁在科學(xué)的大道上。巴羅讓賢，這在科學(xué)史上一直被傳為佳話(huà)。偉大的成就～建立微積分在牛頓的全部科學(xué)貢獻(xiàn)中，數(shù)學(xué)成就占有突出的地位。他數(shù)學(xué)生涯中的第一項(xiàng)創(chuàng)造性成果就是發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理。據(jù)牛頓本人回憶，他是在1664年和1665年間的冬天，在研讀沃利斯博士的《無(wú)窮算術(shù)》時(shí)，試圖修改他的求圓面積的級(jí)數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)這一定理的。笛卡爾的解析幾何把描述運(yùn)動(dòng)的函數(shù)關(guān)系和幾何曲線(xiàn)相對(duì)應(yīng)。牛頓在老師巴羅的指導(dǎo)下，在鉆研笛卡爾的解析幾何的基礎(chǔ)上，找到了新的出路?？梢园讶我鈺r(shí)刻的速度看是在微小的時(shí)間范圍里的速度的平均值，這就是一個(gè)微小的路程和時(shí)間間隔的比值，當(dāng)這個(gè)微小的時(shí)間間隔縮小到無(wú)窮小的時(shí)候，就是這一點(diǎn)的準(zhǔn)確值。這就是微分的概念。求微分相當(dāng)于求時(shí)間和路程關(guān)系得在某點(diǎn)的切線(xiàn)斜率。一個(gè)變速的運(yùn)動(dòng)物體在一定時(shí)間范圍里走過(guò)的路程，可以看作是在微小時(shí)間間隔里所走路程的和，這就是積分的概念。求積分相當(dāng)于求時(shí)間和速度關(guān)系的曲線(xiàn)下面的面積。牛頓從這些基本概念出發(fā)，建立了微積分。微積分的創(chuàng)立是牛頓最卓越的數(shù)學(xué)成就。牛頓為解決運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，才創(chuàng)立這種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)理論的，牛頓稱(chēng)之為"流數(shù)術(shù)"。它所處理的一些具體問(wèn)題，如切線(xiàn)問(wèn)題、求積問(wèn)題、瞬時(shí)速度問(wèn)題以及函數(shù)的極大和極小值問(wèn)題等，在牛頓前已經(jīng)得到人們的研究了。但牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對(duì)以往分散的努力加以綜合，將自古希臘以來(lái)求解無(wú)限小問(wèn)題的各種技巧統(tǒng)一為兩類(lèi)普通的算法：微分和積分，并確立了這兩類(lèi)運(yùn)算的互逆關(guān)系，從而完成了微積分發(fā)明中最關(guān)鍵的一步，為近代科學(xué)發(fā)展提供了最有效的工具，開(kāi)辟了數(shù)學(xué)上的一個(gè)新紀(jì)元。牛頓沒(méi)有及時(shí)發(fā)表微積分的研究成果，他研究微積分可能比萊布尼茨早一些，但是萊布尼茨所采取的表達(dá)形式更加合理，而且關(guān)于微積分的著作出版時(shí)間也比牛頓早。在牛頓和萊布尼茨之間，為爭(zhēng)論誰(shuí)是這門(mén)學(xué)科的創(chuàng)立者的時(shí)候，竟然引起了一場(chǎng)悍然大波，這種爭(zhēng)吵在各自的學(xué)生、支持者和數(shù)學(xué)家中持續(xù)了相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國(guó)數(shù)學(xué)家的長(zhǎng)期對(duì)立。英國(guó)數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國(guó)，囿于民族偏見(jiàn)，過(guò)于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年。應(yīng)該說(shuō)，一門(mén)科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個(gè)人的業(yè)績(jī)，它必定是經(jīng)過(guò)多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎(chǔ)上，最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的。微積分也是這樣，是牛頓和萊布尼茨在前人的基礎(chǔ)上各自獨(dú)立的建立起來(lái)的。1707年，牛頓的代數(shù)講義經(jīng)整理后出版，定名為《普遍算術(shù)》。他主要討論了代數(shù)基礎(chǔ)及其（通過(guò)解方程）在解決各類(lèi)問(wèn)題中的應(yīng)用。書(shū)中陳述了代數(shù)基本概念與基本運(yùn)算，用大量實(shí)例說(shuō)明了如何將各類(lèi)問(wèn)題化為代數(shù)方程，同時(shí)對(duì)方程的根及其性質(zhì)進(jìn)行了深入探討，引出了方程論方面的豐碩成果，如：他得出了方程的根與其判別式之間的關(guān)系，指出可以利用方程系數(shù)確定方程根之冪的和數(shù)，即“牛頓冪和公式”。牛頓對(duì)解析幾何與綜合幾何都有貢獻(xiàn)。他在1736年出版的《解析幾何》中引入了曲率中心，給出密切線(xiàn)圓（或稱(chēng)曲線(xiàn)圓）概念，提出曲率公式及計(jì)算曲線(xiàn)的曲率方法。并將自己的許多研究成果總結(jié)成專(zhuān)論《三次曲線(xiàn)枚舉》，于1704年發(fā)表。此外，他的數(shù)學(xué)工作還涉及數(shù)值分析、概率論和初等數(shù)論等眾多領(lǐng)域。