程序員的數(shù)學(xué)

第1章　 　0 的故事
——無(wú)即是有
本章學(xué)習(xí)內(nèi)容　　 　2
小學(xué)一年級(jí)的回憶　　 　2
10 進(jìn)制計(jì)數(shù)法　　3
什么是10　 　進(jìn)制計(jì)數(shù)法　　3
分解2503　　3
2 進(jìn)制計(jì)數(shù)法　　4
什么是2　 　進(jìn)制計(jì)數(shù)法　　4
分解1100　　5
基數(shù)轉(zhuǎn)換　　 　6
計(jì)算機(jī)中為什么采用2　 　進(jìn)制計(jì)數(shù)法　　8
按位計(jì)數(shù)法　　10
什么是按位計(jì)數(shù)法　　10
不使用按位計(jì)數(shù)法的羅馬數(shù)字　　11
指數(shù)法則　　12
10 的0 次方是什么　　12
10-1 是什么　　13
規(guī)則的擴(kuò)展　　14
對(duì)20 進(jìn)行思考　　14
2-1 是什么　　15
0 所起的作用　　16
0 的作用：占位　　16
0 的作用：統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，簡(jiǎn)化規(guī)則　　16
日常生活中的0　　17
人類(lèi)的極限和構(gòu)造的發(fā)現(xiàn)　　18
重溫歷史進(jìn)程　　18
為了超越人類(lèi)的極限　　19
本章小結(jié)　　20
第2章　 　邏輯
——真與假的二元世界
本章學(xué)習(xí)內(nèi)容　　22
為何邏輯如此重要　　22
邏輯是消除歧義的工具　　22
致對(duì)邏輯持否定意見(jiàn)的讀者　　23
乘車(chē)費(fèi)用問(wèn)題——兼顧完整性和排他性　　 　23
車(chē)費(fèi)規(guī)則　　23
命題及其真假　　24
有沒(méi)有“遺漏”　　24
有沒(méi)有“重復(fù)”　　25
畫(huà)一根數(shù)軸輔助思考　　26
注意邊界值　　28
兼顧完整性和排他性　　28
使用if　 　語(yǔ)句分解問(wèn)題　　28
邏輯的基本是兩個(gè)分支　　29
建立復(fù)雜命題　　30
邏輯非——不是A　　30
邏輯與—— A 并且B　　32
邏輯或—— A 或者B　　34
異或—— A 或者B（但不都滿(mǎn)足）　　37
相等—— A 和B 等　　39
蘊(yùn)涵——若A　則　B　　40
囊括所有了嗎　　45
德?摩根定律　　46
德?摩根定律是什么　　46
對(duì)偶性　　47
卡諾圖　　48
二燈游戲　　48
首先借助邏輯表達(dá)式進(jìn)行思考　　49
學(xué)習(xí)使用卡諾圖　　50
三燈游戲　　52
包含未定義的邏輯　　54
帶條件的邏輯與（&&）　　55
帶條件的邏輯或（||）　　57
三值邏輯中的否定（！）　　58
三值邏輯的德?摩根定律　　58
囊括所有了嗎　　59
本章小結(jié)　　60
第3　 　章　 　余數(shù)
——周期性和分組
本章學(xué)習(xí)內(nèi)容　　64
星期數(shù)的思考題（1）　　64
思考題(100　天以后是星期幾)　　64
思考題答案　　64
運(yùn)用余數(shù)思考　　65
余數(shù)的力量——將較大的數(shù)字除一次就能分組　　65
星期數(shù)的思考題（2）　　66
思考題(10100　 天以后是星期幾)　　66
提示：可以直接計(jì)算嗎　　67
思考題答案　　67
發(fā)現(xiàn)規(guī)律　　68
直觀地把握規(guī)律　　68
乘方的思考題　　70
思考題(1234567987654321)　　70
提示：通過(guò)試算找出規(guī)律　　70
思考題答案　　70
回顧：規(guī)律和余數(shù)的關(guān)系　　71
通過(guò)黑白棋通信　　71
思考題　　71
提示　　73
思考題答案　　73
奇偶校驗(yàn)　　73
奇偶校驗(yàn)位將數(shù)字分為兩個(gè)集合　　74
尋找戀人的思考題　　74
思考題(　尋找戀人)　　74
提示：先試算較小的數(shù)　　74
思考題答案　　75
回顧　　75
鋪設(shè)草席的思考題　　77
思考題（在房間里鋪設(shè)草席）　　77
提示：先計(jì)算一下草席數(shù)　　77
思考題答案　　78
回顧　　78
一筆畫(huà)的思考題　　79
思考題（哥尼斯堡七橋問(wèn)題）　　79
提示：試算一下　　80
提示：考慮簡(jiǎn)化一下　　81
提示：考慮入口和出口　　82
思考題答案　　82
奇偶校驗(yàn)　　85
本章小結(jié)　　86
第4　 　章　 　數(shù)學(xué)歸納法
——如何征服無(wú)窮數(shù)列
本章學(xué)習(xí)內(nèi)容　　88
高斯求和　　88
思考題（存錢(qián)罐里的錢(qián)）　　88
思考一下　　89
小高斯的解答　　89
討論一下小高斯的解答　　89
歸納　　91
數(shù)學(xué)歸納法——　 　如何征服無(wú)窮數(shù)列　　91
0　以上的整數(shù)的斷言　　92
高斯的斷言　　93
什么是數(shù)學(xué)歸納法　　93
試著征服無(wú)窮數(shù)列　　94
用數(shù)學(xué)歸納法證明高斯的斷言　　95
求出奇數(shù)的和　 　——　 　數(shù)學(xué)歸納法實(shí)例　　96
奇數(shù)的和　　96
通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法證明　　97
圖形化說(shuō)明　　98
黑白棋思考題　 　——　 　錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)歸納法　　99
思考題（黑白棋子的顏色）　　99
提示：不要為圖所惑　　100
思考題答案　　 　100
編程和數(shù)學(xué)歸納法　　101
通過(guò)循環(huán)表示數(shù)學(xué)歸納法　　101
循環(huán)不變式　　 　103
本章小結(jié)　　107
第5章　 　排列組合
——解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的方法
本章學(xué)習(xí)內(nèi)容　　110
計(jì)數(shù)——與整數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系　　110
何謂計(jì)數(shù)　　110
注意“遺漏”和“重復(fù)”　　111
植樹(shù)問(wèn)題——不要忘記0　　111
植樹(shù)問(wèn)題思考題　　111
加法法則　　115
加法法則　　115
乘法法則　　117
乘法法則　　117
置換　　121
置換　　121
歸納一下　　122
思考題（撲克牌的擺法）　　123
排列　　125
排列　　125
歸納一下　　126
樹(shù)形圖——能夠認(rèn)清本質(zhì)嗎　　128
組合　　130
組合　　130
歸納一下　　131
置換、排列、組合的關(guān)系　　132
思考題練習(xí)　　 　134
重復(fù)組合　　134
也要善于運(yùn)用邏輯　　136
本章小結(jié)　　139
第6章　 　遞歸
——自己定義自己
本章學(xué)習(xí)內(nèi)容　　142
漢諾塔　　142
思考題（漢諾塔）　　142
提示：先從小漢諾塔著手　　143
思考題答案　　 　146
求出解析式　　 　148
解出漢諾塔的程序　　149
找出遞歸結(jié)構(gòu)　　150
再談階乘　　151
階乘的遞歸定義　　152
思考題（和的定義）　　153
遞歸和歸納　　 　153
斐波那契數(shù)列　　154
思考題（不斷繁殖的動(dòng)物）　　154
斐波那契數(shù)列　　157
帕斯卡三角形　　159
什么是帕斯卡三角形　　159
遞歸定義組合數(shù)　　162
組合的數(shù)學(xué)理論解釋　　163
遞歸圖形　　165
以遞歸形式畫(huà)樹(shù)　　165
實(shí)際作圖　　166
謝爾平斯基三角形　　167
本章小結(jié)　　168
第7章　 　指數(shù)爆炸
——如何解決復(fù)雜問(wèn)題
本章學(xué)習(xí)內(nèi)容　　172
什么是指數(shù)爆炸　　 　172
思考題（折紙問(wèn)題）　　172
指數(shù)爆炸　　175
倍數(shù)游戲——指數(shù)爆炸引發(fā)的難題　　176
程序的設(shè)置選項(xiàng)　　176
不能認(rèn)為是“有限的”就不假思索　　178
二分法查找——利用指數(shù)爆炸進(jìn)行查找　　178
尋找犯人的思考題　　178
提示：先思考人數(shù)較少的情況　　179
思考題答案　　 　180
找出遞歸結(jié)構(gòu)以及遞推公式　　181
二分法查找和指數(shù)爆炸　　183
對(duì)數(shù)——掌握指數(shù)爆炸的工具　　184
什么是對(duì)數(shù)　　 　184
對(duì)數(shù)和乘方的關(guān)系　　184
以2　為底的對(duì)數(shù)　　186
以2　為底的對(duì)數(shù)練習(xí)　　186
對(duì)數(shù)圖表　　187
指數(shù)法則和對(duì)數(shù)　　188
對(duì)數(shù)和計(jì)算尺　　190
密碼——利用指數(shù)爆炸加密　　193
暴力破解法　　 　193
字長(zhǎng)和安全性的關(guān)系　　193
如何處理指數(shù)爆炸　　195
理解問(wèn)題空間的大小　　195
四種處理方法　　195
本章小結(jié)　　196
第8章　 　不可解問(wèn)題
——不可解的數(shù)、無(wú)法編寫(xiě)的程序
本章學(xué)習(xí)內(nèi)容　　200
反證法　　200
什么是反證法　　200
質(zhì)數(shù)思考題　　 　202
反證法的注意事項(xiàng)　　203
可數(shù)　　203
什么是可數(shù)　　 　203
可數(shù)集合的例子　　204
有沒(méi)有不可數(shù)的集合　　206
對(duì)角論證法　　 　207
所有整數(shù)數(shù)列的集合是不可數(shù)的　　207
所有實(shí)數(shù)的集合是不可數(shù)的　　211
所有函數(shù)的集合也是不可數(shù)的　　212
不可解問(wèn)題　　 　213
什么是不可解問(wèn)題　　213
存在不可解問(wèn)題　　214
思考題　　 　215
停機(jī)問(wèn)題　　215
停機(jī)　　216
處理程序的程序　　217
什么是停機(jī)問(wèn)題　　217
停機(jī)問(wèn)題的證明　　219
寫(xiě)給尚未理解的讀者　　222
不可解問(wèn)題有很多　　223
本章小結(jié)　　224
第9章　 　什么是程序員的數(shù)學(xué)
——總結(jié)篇
本章學(xué)習(xí)內(nèi)容　　226
何為解決問(wèn)題　　229
認(rèn)清模式，進(jìn)行抽象化　　229
由不擅長(zhǎng)催生出的智慧　　229
幻想法則　　230
程序員的數(shù)學(xué)　　231