微積分（I、II）

目錄
序言
第1章 預(yù)備知識(shí) 1
1.1 數(shù)學(xué)歸納法 1
1.1.1 歸納法 1
1.1.2 歸納法原理 1
1.1.3 數(shù)學(xué)歸納法 2
1.2 二項(xiàng)式定理 5
1.3 常用的不等式 7
1.4 復(fù)數(shù) 12
1.4.1 復(fù)數(shù)的概念 12
1.4.2 復(fù)數(shù)的表示 12
1.5 極坐標(biāo)系 14
1.5.1 極坐標(biāo)系的概念 14
1.5.2 平面上點(diǎn)的極坐標(biāo) 15
1.5.3 平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系 15
1.5.4 曲線的極坐標(biāo)方程 16
1.5.5 由曲線的極坐標(biāo)方程描繪曲線 17
1.6 集合 20
1.6.1 集合的概念 20
1.6.2 元素與集合的關(guān)系 20
1.6.3 集合中元素的特性 20
1.6.4 集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算 20
1.6.5 集合的分類 21
1.6.6 常用數(shù)集及其表示方法 21
1.6.7 數(shù)集的界與確界 21
1.7 函數(shù) 22
1.7.1 映射與函數(shù) 22
1.7.2 函數(shù)的初等性質(zhì) 24
1.7.3 基本初等函數(shù) 27
1.7.4 初等函數(shù) 29
1.7.5 隱函數(shù) 31
1.7.6 參數(shù)式函數(shù) 32
習(xí)題1 33
第2章 極限理論 36
2.1 數(shù)列的極限 36
2.1.1 數(shù)列極限的定義 36
2.1.2 數(shù)列極限的性質(zhì) 40
2.1.3 數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則 46
2.2 函數(shù)的極限 55
2.2.1 函數(shù)極限的定義 56
2.2.2 函數(shù)極限的性質(zhì) 61
2.2.3 函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則 64
2.3 無(wú)窮小與無(wú)窮大 68
2.3.1 無(wú)窮小與無(wú)窮大的定義與性質(zhì) 68
2.3.2 無(wú)窮小階的比較 69
2.3.3 等價(jià)無(wú)窮小（無(wú)窮大）的因式替換 71
2.3.4 無(wú)窮小的主部 72
2.4 函數(shù)的連續(xù)與間斷 73
2.4.1 連續(xù)函數(shù)的概念 73
2.4.2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 74
2.4.3 函數(shù)的間斷 77
2.4.4 有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 79
習(xí)題2 83
第3章 導(dǎo)數(shù)與微分 86
3.1 導(dǎo)數(shù)的定義 86
3.1.1 導(dǎo)數(shù)的背景 86
3.1.2 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 88
3.2 求導(dǎo)法則 91
3.2.1 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 91
3.2.2 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 92
3.2.3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 93
3.2.4 取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則 95
3.2.5 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 96
3.2.6 參數(shù)式函數(shù)的求導(dǎo)法則 96
3.2.7 導(dǎo)數(shù)基本公式表 98
3.3 高階導(dǎo)數(shù) 98
3.3.1 幾個(gè)初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù) 99
3.3.2 兩個(gè)函數(shù)乘積的高階導(dǎo)數(shù) 101
3.4 微分 103
3.4.1 微分定義與性質(zhì) 103
3.4.2 微分的運(yùn)算法則 104
3.4.3 微分的應(yīng)用：近似計(jì)算 106
3.5 微分中值定理 106
3.5.1 費(fèi)馬（Fermat）引理 106
3.5.2 羅爾（Rolle）中值定理 107
3.5.3 拉格朗日（Lagrange）中值定理 108
3.5.4 柯西（Cauchy）中值定理 110
3.6 洛必達(dá)法則 113
3.7 泰勒（Taylor）公式 122
3.8 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 129
3.8.1 函數(shù)的單調(diào)性 129
3.8.2 函數(shù)的極值 134
3.8.3 最值問(wèn)題 137
3.8.4 函數(shù)的凸性和拐點(diǎn) 139
3.8.5 漸近線 148
3.8.6 函數(shù)作圖 150
3.9 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 152
3.9.1 邊際分析 152
3.9.2 彈性分析 155
習(xí)題3 157
第4章 一元函數(shù)積分學(xué) 163
4.1 不定積分 163
4.1.1 原函數(shù)與不定積分 163
4.1.2 不定積分的幾何意義 165
4.1.3 積分基本公式表 165
4.1.4 不定積分的性質(zhì) 166
4.1.5 不定積分的計(jì)算方法 167
4.1.6 分部積分法 175
4.1.7 有理函數(shù)的積分 178
4.1.8 三角函數(shù)有理式的積分 181
4.1.9 原函數(shù)非初等函數(shù)的積分 183
4.2 定積分 183
4.2.1 定積分的概念 183
4.2.2 定積分的幾何意義 186
4.2.3 函數(shù)可積的充分必要條件 186
4.2.4 定積分的性質(zhì) 190
4.2.5 微積分基本定理 197
4.2.6 定積分的換元法與分部積分法 202
4.3 反常積分 208
4.3.1 無(wú)窮區(qū)間上的反常積分的定義 208
4.3.2 無(wú)界函數(shù)的反常積分（瑕積分）的定義 209
4.3.3 反常積分的基本性質(zhì) 210
4.3.4 反常積分的基本公式 210
4.3.5.函數(shù) 216
4.4 數(shù)值積分* 218
4.5 定積分的應(yīng)用 222
4.5.1 定積分的微元法 222
4.5.2 定積分在幾何上的應(yīng)用 223
4.5.3 定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用 238
4.5.4 定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 243
習(xí)題4 246
第5章 向量代數(shù)與空間解析幾何 253
5.1 向量代數(shù) 253
5.1.1 空間直角坐標(biāo)系 253
5.1.2 向量的基本概念 254
5.1.3 向量的線性運(yùn)算 256
5.1.4 向量的內(nèi)積 258
5.1.5 向量的外積 260
5.1.6 向量的混合積*262
5.2 平面與直線 264
5.2.1 平面的方程 264
5.2.2 直線的方程 268
5.2.3 直線與平面的位置關(guān)系 272
5.2.4 平面束* 273
5.3 空間曲面與空間曲線 275
5.3.1 球面 275
5.3.2 柱面 276
5.3.3 錐面 278
5.3.4 旋轉(zhuǎn)曲面 280
5.3.5 常見的二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖像 281
習(xí)題5 284
附錄一 三角公式 286
附錄二 極坐標(biāo)曲線圖 287