常微分方程

目錄
前言
第1章 一階微分方程的初等積分法 1
1.1 微分方程的基本概念 1
1.2 變量分離方程 6
1.3 齊次和分式方程 9
1.3.1 齊次方程 9
1.3.2 線性分式形式的微分方程 11
1.4 常數(shù)變易法 13
1.4.1 一階線性微分方程 13
1.4.2 伯努利方程 15
1.5 全微分方程與積分因子 17
1.6 一階隱式微分方程 23
1.6.1 可以解出y的方程 23
1.6.2 可以解出x的方程 24
1.6.3 不顯含y的一階隱式方程 25
1.6.4 不顯含x的一階隱式方程 27
1.7 微分方程的應用 28
1.7.1 幾何問題 28
1.7.2 變化率問題 29
1.7.3 物理問題 30
第2章 線性微分方程組 33
2.1 預備知識 33
2.1.1 矩陣函數(shù)的運算性質(zhì) 34
2.1.2 矩陣范數(shù)及收斂性 35
2.2 線性微分方程組解的存在性與唯一性定理 36
2.3 齊次線性微分方程組的通解結構 40
2.3.1 疊加原理 40
2.3.2 向量函數(shù)組的線性相關性 40
2.4 非齊次線性微分方程組的通解結構 45
2.5 常系數(shù)線性微分方程組的解 48
2.5.1 常系數(shù)齊次線性微分方程組的解法——歐拉(Euler)指數(shù)法 48
2.5.2 常系數(shù)非齊次線性方程組的解法——常數(shù)變易法 54
第3章 高階線性微分方程 57
3.1 高階線性微分方程的一般理論 57
3.1.1 齊次線性微分方程的解的性質(zhì)與結構 59
3.1.2 非齊次線性微分方程與常數(shù)變易法 61
3.2 高階常系數(shù)線性微分方程的解法 66
3.2.1 復值函數(shù)與復值解 67
3.2.2 高階常系數(shù)齊次線性微分方程 69
3.2.3 高階常系數(shù)非齊次線性微分方程 74
3.3 高階線性微分方程的降階法 81
第4章 基本理論 86
4.1 皮卡存在唯一性定理 86
4.2 佩亞諾存在性定理 97
4.3 解的延拓 104
4.4 積分不等式 108
4.5 解對初值的依賴性 111
第5章 定性理論初步 119
5.1 動力系統(tǒng)基本概念 119
5.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性 122
5.3 李雅普諾夫直接法 130
5.4 平面平衡點分析 136
5.5 極限環(huán) 148
5.6 平面哈密頓系統(tǒng) 153
第6章 一階偏微分方程初步 157
6.1 基本概念 157
6.2 一階線性偏微分方程與常微分方程組的關系 159
6.2.1 常微分方程組的首次積分 159
6.2.2 一階線性齊次偏微分方程與特征方程組 163
6.3 一階線性齊次偏微分方程的解法 165
6.4 一階線性非齊次偏微分方程的解法 167
6.5 初值問題 170
參考文獻 174