數(shù)學物理方程

目錄
“大學數(shù)學科學叢書”序
前言
第1章 數(shù)學模型及二階線性偏微分方程的分類與化簡 1
1.1 守恒律模型 1
1.1.1 弦振動問題 1
1.1.2 熱傳導問題 5
1.1.3 理想流體力學方程組 7
1.1.4 帶電導體外的靜電場 12
1.2 變分模型 14
1.3 偏微分方程的基本概念 16
1.3.1 定義 16
1.3.2 定解條件和定解問題 17
1.3.3 定解問題的適定性 20
1.3.4 疊加原理 20
1.4 二階線性偏微分方程的分類與化簡 21
1.4.1 兩個自變量的二階線性偏微分方程的分類 21
1.4.2 兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡 22
1.4.3 多個自變量的二階線性偏微分方程的分類 26
習題 127
第2章 分離變量法 29
2.1 有界弦的自由振動問題 29
2.2 有限長桿上的熱傳導問題 33
2.3 特殊區(qū)域上拉普拉斯方程的邊值問題 37
2.3.1 矩形區(qū)域上拉普拉斯方程的邊值問題 37
2.3.2 圓域內(nèi)拉普拉斯方程的邊值問題 39
2.4 非齊次方程的定解問題 42
2.4.1 有界弦的強迫振動問題 42
2.4.2 泊松方程的邊值問題 45
2.5 非齊次邊界條件的定解問題 46
習題 251
第3章 特征值問題 53
3.1 施圖姆-劉維爾問題 53
3.1.1 基本概念 53
3.1.2 施圖姆-劉維爾定理 54
3.2 貝塞爾函數(shù) 56
3.2.1 貝塞爾方程與貝塞爾函數(shù)的定義 56
3.2.2 貝塞爾函數(shù)的性質(zhì) 59
3.2.3 可化為貝塞爾方程的微分方程 62
3.3 貝塞爾函數(shù)的應用 63
3.3.1 貝塞爾方程的特征值問題 64
3.3.2 貝塞爾函數(shù)的應用舉例 66
習題 371
第4章 行波法 73
4.1 一維波動方程的柯西問題 73
4.1.1 達朗貝爾公式 73
4.1.2 達朗貝爾解的物理意義 74
4.1.3 依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域 75
4.1.4 齊次化原理 79
4.2 高維波動方程的柯西問題 81
4.2.1 球平均法 81
4.2.2 降維法 86
4.2.3 非齊次波動方程的柯西問題 88
4.2.4 依賴區(qū)域、決定區(qū)域和影響區(qū)域 90
4.2.5 惠更斯原理、波的彌散 92
習題 494
第5章 積分變換法 98
5.1 傅里葉變換的定義及性質(zhì) 98
5.2 傅里葉變換的應用 104
5.2.1 一維熱傳導方程的柯西問題 104
5.2.2 高維熱傳導方程的柯西問題 105
5.2.3 一維弦振動方程的柯西問題 106
5.2.4 無界區(qū)域上的拉普拉斯方程的邊值問題 109
5.3 拉普拉斯變換的定義及性質(zhì) 111
5.4 拉普拉斯變換的應用 116
習題 5121
第6章 格林函數(shù)法 124
6.1 廣義函數(shù)與δ函數(shù) 124
6.1.1 廣義函數(shù)的物理背景 124
6.1.2 廣義函數(shù)的定義與δ函數(shù) 124
6.1.3 廣義函數(shù)的性質(zhì)與運算 128
6.1.4 基本解 137
6.2 橢圓方程的格林函數(shù) 138
6.2.1 格林公式 138
6.2.2 共軛微分算子與廣義解 138
6.2.3 橢圓方程邊值問題的格林函數(shù) 140
6.2.4 橢圓方程邊值問題的格林函數(shù)的結構與基本解 147
6.2.5 特殊區(qū)域上的橢圓方程邊值問題的格林函數(shù) 151
6.3 熱傳導方程的格林函數(shù) 159
6.3.1 熱傳導方程初值問題的基本解和格林函數(shù) 159
6.3.2 熱傳導方程初邊值問題的格林函數(shù) 162
6.4 波動方程的格林函數(shù) 173
6.4.1 波動方程初值問題的基本解和格林函數(shù) 173
6.4.2 波動方程初邊值問題的格林函數(shù) 179
習題 6187
第7章 非線性數(shù)學物理方程 189
7.1 非線性數(shù)學物理方程的行波解 189
7.2 直接積分法 190
7.3 Adomian分解法 199
7.4 Cole-Hopf變換 201
7.4.1 Burgers方程的Cole-Hopf變換 202
7.4.2 推廣的Cole-Hopf變換 204
7.5 反散射方法 206
7.5.1 GGKM變換 206
7.5.2 Schr*dinger方程勢場的孤立子解 207
7.5.3 KdV方程的初值問題 208
習題 7212
參考文獻 214
附錄A 常微分方程和Γ函數(shù)及解析函數(shù)基礎 215
A.1 線性常微分方程 215
A.1.1 一階線性常微分方程 215
A.1.2 二階線性常微分方程 215
A.1.3 二階常系數(shù)齊次線性常微分方程 216
A.1.4 歐拉方程 216
A.2Γ函數(shù) 217
A.3 解析函數(shù) 218
附錄B 積分變換表 222
附錄C 參考答案 224
“大學數(shù)學科學叢書”已出版書目