力學(xué)分析中的對稱性和守恒律

目錄　
叢書序　
前言　
第1章　變分原理、Euler-Lagrange方程與微分算子　1　
1.1　變分原理與泛函　1　
1.2　Euler-Lagrange方程　2　
1.2.1　一階泛函的駐立值問題　2　
1.2.2　高階泛函的駐立值問題　4　
1.3　微分算子　6　
1.3.1　全微分算子　6　
1.3.2　Euler-Lagrange算子　7　
第2章　常微分方程的Lie　對稱分析　10　
2.1　單參數(shù)Lie變換群及其延拓　10　
2.1.1　單參數(shù)Lie變換群　10　
2.1.2　無窮小生成元　14　
2.1.3　正則坐標(biāo)　16　
2.1.4　對稱性　17　
2.1.5　無窮小生成元的延拓　18　
2.2　Lie代數(shù)　24　
2.2.1　Lie代數(shù)與Lie括號　24　
2.2.2　Lie代數(shù)的性質(zhì)　25　
2.2.3　可解Lie代數(shù)　28　
2.3　正則變量方法求解微分方程　29　
2.3.1　正則變量方法　29　
2.3.2　求解微分方程步驟　30　
2.4　微分方程的對稱性　34　
2.4.1　微分方程的對稱性定理　34　
2.4.2　一階微分方程的決定方程　35　
2.4.3　二階微分方程的決定方程　37　
2.5　Lie-B.cklund算子　41
2.6　Lie-B.cklund代數(shù)　45　
2.7　Lie-B.cklund對稱性.50　
2.7.1　擴展標(biāo)架　50　
2.7.2　Lie-B.cklund對稱性表達(dá)式　51　
2.8　多參數(shù)Lie變換群及其延拓　56　
2.8.1　多參數(shù)Lie變換群及其無窮小生成元　56　
2.8.2　雙參數(shù)Lie變換群無窮小生成元的延拓　57　
2.9　基于符號計算系統(tǒng)的Lie對稱分析　60　
2.9.1　符號計算系統(tǒng)　60　
2.9.2　常用符號計算軟件　61　
第3章　偏微分方程組的Lie對稱分析　63　
3.1　單參數(shù)Lie變換群及其延拓　63　
3.1.1　單參數(shù)Lie變換群　63　
3.1.2　無窮小生成元　66　
3.1.3　無窮小生成元的延拓　68　
3.2　方程組的對稱性　77　
3.3　微分方程組的對稱性　80　
3.4　Lie-B.cklund算子與代數(shù)　83　
3.4.1　Lie-B.cklund算子　83　
3.4.2　Lie-B.cklund代數(shù)　86　
3.5　Lie-B.cklund對稱性　87　
3.6　多參數(shù)Lie變換群及其延拓　94　
3.6.1　多參數(shù)Lie變換群及其無窮小生成元　94　
3.6.2　雙參數(shù)Lie變換群無窮小生成元的延拓　95　
第4章　Noether守恒律　99　
4.1　具有單變量的物理系統(tǒng)的Noether守恒律　100　
4.1.1　單變量情形下的Euler-Lagrange方程　100　
4.1.2　單變量情形下的Noether守恒律及其證明　100　
4.2　具有多變量的物理系統(tǒng)的Noether守恒律　114　
4.2.1　多變量情形下的Euler-Lagrange方程　114　
4.2.2　多變量情形下的Noether守恒律及其證明　115　
4.2.3　關(guān)于部分/全表面邊界條件的討論　130　
4.3　雙參數(shù)變換群條件下的Noether守恒律　132　
4.3.1　雙參數(shù)單變量Noether定理　132　
4.3.2　雙參數(shù)多變量Noether定理　135
第5章　Ibragimov守恒律140　
5.1　伴隨算子與伴隨方程（組）　140　
5.1.1　伴隨算子　140　
5.1.2　伴隨方程——線性微分方程　142　
5.1.3　伴隨方程組——非線性微分方程組　148　
5.2　伴隨方程（組）的對稱性　150　
5.2.1　微分方程情形　150　
5.2.2　微分方程組情形　155　
5.3　Ibragimov守恒律表達(dá)式156　
5.4　雙參數(shù)變換群條件下的Ibragimov守恒律　159　
第6章　近似Lie對稱性　164　
6.1　近似Lie代數(shù)　164　
6.1.1　近似Lie代數(shù)的定義　164　
6.1.2　近似對稱的代數(shù)性質(zhì)　165　
6.1.3　近似不變量　167　
6.2　近似算子與算子近似階次確定　168　
6.2.1　近似Lie算子與近似Lie-B.cklund算子　168　
6.2.2　算子近似階次確定　169　
6.3　微分方程（組）近似Lie對稱的性質(zhì)　174　
6.4　方程組的近似Lie對稱性　176　
6.5　微分方程組的近似Lie對稱性　179　
6.5.1　微分方程組近似Lie對稱性證明　179　
6.5.2　近似Lie算子的延拓　183　
6.6　近似Lie-B.cklund算子與對稱性　185　
6.6.1　近似Lie-B.cklund算子的延拓　186　
6.6.2　近似Lie-B.cklund對稱性　186　
第7章　近似Noether守恒律　194　
7.1　近似Noether算子與算子近似階數(shù)確定　194　
7.1.1　近似Noether算子　194　
7.1.2　算子近似階次確定　195　
7.2　近似Noether守恒律及其求解方法　199　
7.2.1　部分Lagrange函數(shù)　199　
7.2.2　近似Noether守恒律表達(dá)式　200　
7.2.3　求解方法總結(jié)　201　
第8章　近似Ibragimov守恒律　202
8.1　伴隨方程（組）的對稱性　202　
8.1.1　伴隨方程組　202　
8.1.2　微分方程情形　203　
8.1.3　微分方程組情形　206　
8.2　近似Ibragimov守恒律表達(dá)式　209　
第9章　勢對稱與近似勢對稱　212　
9.1　勢對稱含義　212　
9.2　微分方程的勢對稱　212　
9.2.1　偏微分方程的勢對稱　213　
9.2.2　常微分方程的勢對稱　218　
9.2.3　原方程和輔助系統(tǒng)的Lie對稱變換　220　
9.2.4　守恒形式　220　
9.3　微分方程的近似勢對稱　221　
第10章　彈性力學(xué)中的應(yīng)用　224　
10.1　桿的平衡方程的守恒律　224　
10.2　梁的平衡方程的守恒律　226　
10.3　平面問題的位移法方程的對稱性和守恒律　229　
10.3.1　Lie對稱性　230　
10.3.2　Noether守恒律　234　
10.4　三維問題的位移法方程的對稱性　237　
10.5　疲勞裂紋擴展方程的對稱性和守恒律　246　
10.5.1　Lie對稱性　247　
10.5.2　Lie-B.cklund對稱性　248　
10.5.3　Noether守恒律　250　
10.5.4　Ibragimov守恒律　250　
10.6　功能梯度材料的路徑無關(guān)積分與裂紋擴展力　251　
10.6.1　均質(zhì)材料平面問題的守恒律　252　
10.6.2　功能梯度材料的路徑無關(guān)積分　254　
10.6.3　裂紋擴展力　256　
10.7　物理平面上解析函數(shù)的守恒積分及其應(yīng)用　257　
10.7.1　解析函數(shù)的守恒積分　257　
10.7.2　關(guān)于守恒積分的討論　262　
10.7.3　平面彈性體裂紋的守恒積分　263　
10.8　V型平面缺口問題中的守恒積分及其應(yīng)用　265　
10.8.1　基于平面彈性力學(xué)復(fù)勢理論的Lagrange函數(shù)　266
10.8.2　基于Noether定理的守恒律　269　
10.8.3　在V型缺口問題中的應(yīng)用　271　
10.9　縱向剪切問題中V型缺口的守恒積分及其應(yīng)用　276　
10.9.1　Lie對稱分析　277　
10.9.2　守恒積分　281　
10.9.3　在尖銳V型缺口問題中的應(yīng)用　283　
第11章　流體力學(xué)中的應(yīng)用　292　
11.1　KdV方程的變分對稱性　292　
11.2　KdV方程的高階對稱性　294　
11.2.1　伴隨方程與Lagrange函數(shù)　294　
11.2.2　守恒律　295　
11.3　擾動KdV方程的高階近似對稱性　301　
11.4　mKdV方程的Ibragimov守恒律　305　
11.4.1　Ibragimov守恒律　305　
11.4.2　微分Lagrange算子方法　.308　
11.5　Maxwell分布的Ibragimov守恒律　310　
11.6　Navier-Stokes系統(tǒng)的Ibragimov　守恒律　312　
第12章　一般力學(xué)中的應(yīng)用　316　
12.1　三維情況質(zhì)點系統(tǒng)的守恒定律　316　
12.1.1　時間平移不變性——能量守恒　321　
12.1.2　空間平移不變性——動量守恒　321　
12.1.3　空間旋轉(zhuǎn)不變性——角動量守恒　322　
12.2　自由落體運動的守恒律　323　
12.3　一維阻尼振子的守恒律　325　
12.4　一維運動方程的Ibragimov守恒律　325　
12.5　兩質(zhì)點系統(tǒng)擾動方程的近似對稱性和守恒律　327　
12.5.1　近似Lie對稱性　328　
12.5.2　近似Noether對稱性　331　
12.5.3　近似Ibragimov守恒律　333　
12.6　含擾動結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)方程的近似對稱性和守恒律　334　
12.6.1　近似Lie對稱性　335　
12.6.2　近似Noether守恒律　343　
12.7　非線性振動方程的對稱性和守恒律　348　
12.7.1　一般形式非線性振動方程的對稱性和守恒律　348　
12.7.2　Duffing振動方程的對稱性和守恒律　356
12.7.3　Duffing振動方程的分叉現(xiàn)象　362　
12.7.4　Duffing振動方程的守恒律和分叉現(xiàn)象的關(guān)系　364　
12.8　顫振方程的對稱性和守恒律　364　
12.8.1　線性氣動力和力矩　365　
12.8.2　非線性氣動力和力矩　374　
第13章　數(shù)學(xué)物理方程中的應(yīng)用　380　
13.1　熱傳導(dǎo)方程的Ibragimov守恒律　380　
13.1.1　伴隨方程與Lagrange函數(shù)　380　
13.1.2　守恒律　381　
13.2　非線性熱傳導(dǎo)方程的Ibragimov守恒律　385　
13.2.1　伴隨方程與Lagrange函數(shù)　385　
13.2.2　守恒律　390　
13.3　非線性熱傳導(dǎo)方程的勢對稱　393　
13.4　Burger方程的勢對稱　394　
13.5　非均勻介質(zhì)中波動方程的勢對稱　395　
13.6　非均勻介質(zhì)中擾動波動方程的近似勢對稱　398　
13.7　帶有擾動對流項的非線性擴散方程的近似勢對稱　401　
13.8　Duffing方程的Lie對稱性　404　
13.8.1　確定性外力　405　
13.8.2　均值為0的隨機