有趣的矩陣：看得懂又好看的線性代數(shù)

第1章 雞兔同籠：矩陣與線性方程組的關系 1
1.1　列算式解雞兔同籠問題 2
1.1.1　《孫子算經(jīng)》中記載的解法 2
1.1.2　小學課堂上的解法 2
1.2　用方程的思想求解雞兔同籠問題 2
1.2.1　用二元一次方程組求解雞兔同籠問題 2
1.2.2　解方程組的方法更程序化 3
1.2.3　什么是線性方程組 4
1.3　用數(shù)的表格——“矩陣”表示線性方程組 4
1.3.1　用數(shù)字表格簡化表示線性方程組 4
1.3.2　一種新的數(shù)學符號——矩陣誕生了！ 5
1.4　用矩陣方法求解線性方程組 7
1.4.1　用矩陣表示線性方程組的解題過程 7
1.4.2　矩陣的一種運算——初等行變換 7
1.4.3　矩陣的初等行變換與方程組的等價變換 8
1.5　用矩陣解決升級版雞兔同籠問題 9
1.5.1　升級版雞兔同籠問題——獸禽問題 9
1.5.2　更難的問題——王婆賣瓜問題 10
1.5.3　王婆賣瓜問題的思考——出現(xiàn)多個解時，怎么選擇？ 11
1.6　怎么吃最健康——定制健康食譜 12
1.6.1　定制食譜第一步：確定攝入量 13
1.6.2　定制食譜第二步：選定食物，建立線性方程組 13
1.6.3　定制食譜第三步：求解線性方程組 14
1.6.4　定制食譜最后一步：選擇一組合適的食物搭配 15
1.6.5　什么是規(guī)劃問題 16
1.7　我們的生活離不開線性方程組 17
第2章 數(shù)字游戲：好玩的矩陣 18
2.1　矩陣就是數(shù)字公寓 19
2.1.1　矩陣的尺寸 19
2.1.2　數(shù)字公寓的門牌號 20
2.2　把矩陣翻轉一下，會怎么樣？ 21
2.2.1　怎樣翻轉矩陣 21
2.2.2　翻轉后不變的方陣 23
2.3　各種特殊的方陣 24
2.3.1　三角矩陣就是數(shù)字三角形 24
2.3.2　對角矩陣 25
2.4　幻方游戲你玩過嗎？ 26
2.4.1　幻方是中國人的發(fā)明 26
2.4.2　利用矩陣求解一個三階幻方 28
2.4.3　三階幻方的特點 30
2.4.4　利用矩陣求解[n]階幻方的思路 31
2.5　數(shù)獨也是矩陣游戲 32
2.5.1　令歐拉著迷的拉丁方陣 32
2.5.2　數(shù)獨游戲 34
2.5.3　用分塊矩陣的思想填寫數(shù)獨矩陣 35
第3章 經(jīng)營水果店：經(jīng)營管理中的矩陣 38
3.1　用矩陣加法計算總銷量 39
3.1.1　總銷量計算問題 39
3.1.2　矩陣的加法不能隨便做 40
3.1.3　用矩陣的減法找回丟失的報表 42
3.1.4　矩陣的加、減法與實數(shù)的加、減法 43
3.1.5　幻方矩陣的加法 44
3.2　用數(shù)乘矩陣解決銷量、損耗量問題 45
3.2.1　利用數(shù)與矩陣的乘法運算制定銷量計劃 45
3.2.2　促銷打折、水果損耗量計算中的矩陣運算 46
3.2.3　數(shù)乘矩陣的進一步探究 47
3.2.4　數(shù)乘矩陣運算的運算規(guī)律 48
3.2.5　幻方矩陣的數(shù)乘 50
3.3　用矩陣乘法進行更復雜的經(jīng)營管理 50
3.3.1　阿明的精品水果禮盒業(yè)務 50
3.3.2　用矩陣乘矩陣算賬 51
3.3.3　最簡單的矩陣乘法 53
3.3.4　矩陣乘法真好用！ 54
3.3.5　單位矩陣是沒有美顏功能的素顏相機 55
3.4　矩陣乘法的顯微鏡底下看線性方程組 55
3.4.1　線性方程組的真面目 55
3.4.2　橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同 56
3.5　矩陣乘法中的座位號是不可以交換的！ 57
3.5.1　交換位置，可能就玩不到一起了！ 57
3.5.2　為什么矩陣乘法不滿足交換律？ 59
3.5.3　什么樣的矩陣乘法滿足交換律？ 60
3.5.4　總是可交換的矩陣 61
3.5.5　可逆的方陣 61
3.6　一個藤上N個瓜——矩陣的連乘 62
3.6.1　雖然不滿足交換律，矩陣乘法還是可以靈活計算的 62
3.6.2　矩陣有平方嗎？ 63
3.6.3　不忘初心的冪等矩陣 64
3.7　水果店老板的市場調研 65
3.7.1　阿明要在大學城里開水果店 65
3.7.2　預測水果店的市場占有率 66
3.8　神出鬼沒的零矩陣 67
3.8.1　遇上它們，就成了它們——它們是誰？ 67
3.8.2　沒遇上它們，也可能變成它們——神出鬼沒的零矩陣 68
第4章 數(shù)碼照片：矩陣與PS技術 70
4.1　對計算機來說，照片就是矩陣 71
4.1.1　組成數(shù)碼照片的最小單元——像素 71
4.1.2　一張黑白照片=一個矩陣 72
4.1.3　一張彩色照片=三個矩陣 73
4.2　修圖其實是做數(shù)學計算題 75
4.2.1　美顏App用矩陣運算精修你的照片 75
4.2.2　給照片加上濾鏡 76
4.2.3　給照片加水印 78
4.3　怎樣給照片“瘦身”？ 79
4.3.1　壓縮一張照片的數(shù)學原理是什么？ 79
4.3.2　隔一行刪一行——最簡單的壓縮算法 80
4.3.3　矩陣的乘法分解——最常用的SVD壓縮算法 80
4.3.4　視頻壓縮也是矩陣運算 81
4.3.5　壓縮的反操作——照片恢復 81
4.4　改變人類生活的人工智能算法離不開矩陣 83
4.4.1　人工智能要讓計算機像人類一樣思考 83
4.4.2　一個水果店的例子 85
4.4.3　人工神經(jīng)網(wǎng)絡的結構 86
4.4.4　神經(jīng)網(wǎng)絡的必經(jīng)之路——訓練和學習 87
4.4.5　計算機認人和你認人的過程是類似的 88
4.4.6　熟能生巧——數(shù)百萬次的訓練，才能做到過目不忘 90
4.4.7　深度學習，不僅僅能學認人 92
第5章 計算機繪畫：用矩陣創(chuàng)造藝術 93
5.1　意義非凡的平面直角坐標系 94
5.1.1　認識平面直角坐標系 94
5.1.2　坐標系可以讓函數(shù)和方程有“顏” 95
5.1.3　用幾何解決雞兔同籠問題 96
5.2　計算機繪圖是怎么做到的？ 97
5.2.1　計算機是怎么畫出一條線段的？ 98
5.2.2　計算機是怎么畫圓的？ 100
5.2.3　更好的畫圓思路 102
5.2.4　計算機繪制幾何圖形的總體思路 103
5.3　字體和藝術字——幾何圖形和線性變換 103
5.3.1　不同的字體，計算機是如何顯示出來的？ 103
5.3.2　改變字符的字號，計算機是怎么做的？ 104
5.3.3　把一個字符變成斜體的線性變換——剪切變換 106
5.3.4　藝術字體中的鏡像變換，其實也是矩陣乘法 108
5.4　從心形線到四葉草——旋轉變換的魔力 110
5.4.1　怎么畫心形線和四葉草？ 110
5.4.2　旋轉變換的數(shù)學原理 112
5.4.3　平面幾何圖形的線性變換 113
5.5　計算機怎么制作電影特效？ 114
5.5.1　悸動的心——二維動畫特效演示 114
5.5.2　海嘯、暴風雪、爆炸的特效，計算機是怎么做到的？ 115
第6章 加密解密：矩陣與密碼 116
6.1　用小學數(shù)學運算對銀行卡密碼加密 117
6.1.1　設計要求——安全、準確地傳遞信息 117
6.1.2　用十以內整數(shù)加法設計的加密算法 118
6.1.3　用乘法表設計的加密算法 120
6.1.4　更復雜的加密算法 121
6.2　怎么加密文字信息？ 121
6.2.1　古羅馬戰(zhàn)神凱撒的秘密武器——凱撒密碼 121
6.2.2　凱撒密碼的數(shù)學原理 122
6.2.3　用乘法原理對文字信息進行加密 124
6.2.4　使用統(tǒng)計規(guī)律破譯加密算法 125
6.2.5　自帶“鑰匙”的加密算法 125
6.3　用矩陣乘法加密你的銀行卡密碼 127
6.3.1　用矩陣乘法加密數(shù)字明文 127
6.3.2　這樣加密靠譜嗎？ 128
6.3.3　怎么解密數(shù)字信息？ 129
6.3.4　解密過程怎么改進？ 130
6.3.5　一些密碼學干貨 131
6.3.6　請你來設計一個加密算法吧！ 133
6.4　希爾密碼——用矩陣乘法加密文字信息 134
6.4.1　怎樣設計希爾密碼的加密矩陣？ 134
6.4.2　為你的日記設計希爾加密算法 135
6.4.3　怎樣得到希爾密碼的解密矩陣？ 136
6.4.4　希爾密碼的破譯 137
6.4.5　動態(tài)的希爾密碼 137
第7章 互聯(lián)網(wǎng)：矩陣的世界 139
7.1　用矩陣表示你的社交網(wǎng)絡 140
7.1.1　繪制一張微信好友關系圖 140
7.1.2　繪制一張微博好友關系圖 141
7.1.3　你有幾個微信好友？幾個微博粉絲？ 143
7.1.4　代表真實社交網(wǎng)絡的矩陣非常大 145
7.2　認識一個陌生人，最少需要幾個人介紹？ 145
7.2.1　通過社交網(wǎng)絡，通過一個中間人認識另一個人 145
7.2.2　兩個人相識，最多需要幾個中間人？ 147
7.2.3　真實世界——全世界任何兩個人相識，只需要六個人 148
7.3　玩“見面分一半”的游戲，能實現(xiàn)“共同富裕”嗎？ 149
7.3.1　財富分布不均衡的人類社會 149
7.3.2　實現(xiàn)財富平均分配的一種方法 149
7.4　網(wǎng)頁搜索的原理是什么？ 152
7.4.1　網(wǎng)頁搜索結果是隨機排序的嗎？ 152
7.4.2　早期的網(wǎng)頁搜索算法 152
7.4.3　因一個算法而誕生的高科技公司 153
7.4.4　谷歌公司的網(wǎng)頁排序新算法——PageRank算法 153
7.4.5　PageRank算法的數(shù)學模型 154
7.4.6　網(wǎng)頁的得分和用戶打開的第一個網(wǎng)頁有關系嗎？ 156
7.4.7　網(wǎng)頁的得分和超鏈接關系圖密不可分 157
7.4.8　算法比你還懂你 159
7.5　谷歌每天為幾百萬億個網(wǎng)頁排序，計算量大嗎？ 160
7.5.1　網(wǎng)頁之間的鏈接關系圖有多大？ 160
7.5.2　網(wǎng)頁之間的鏈接，和人類社會網(wǎng)絡很像 160
7.5.3　面對巨大的計算量，該怎么辦？ 162
7.5.4　計算工程分包自動化——MapReduce算法 163
第8章 田忌賽馬：博弈論中的矩陣 165
8.1　田忌賽馬與博弈論 166
8.1.1　田忌賽馬的故事 166
8.1.2　用矩陣表示賽馬結果 166
8.1.3　博弈論的發(fā)展歷史 168
8.2　如果齊王也懂博弈論 168
8.2.1　一場賽馬比賽的所有可能結果有哪些？ 168
8.2.2　下一次賽馬，田忌還能繼續(xù)贏嗎？ 170
8.2.3　用矩陣表示博弈雙方的收益 171
8.2.4　最佳策略與納什均衡 172
8.3　一個“雙輸”的博弈——囚徒博弈 174
8.3.1　什么是囚徒博弈？ 174
8.3.2　囚徒困境——為了避免最壞的結局，錯過了更好的結局 174
8.3.3　現(xiàn)實中的囚徒困境 175
8.3.4　囚徒困境可以改變嗎？ 176
8.4　一個“雙贏”的博弈——雪堆博弈 177
8.4.1　什么是雪堆博弈？ 177
8.4.2　什么時候不鏟雪？ 179
8.4.3　什么時候鏟雪？ 180
8.4.4　歷史故事中的“雪堆博弈” 181
8.5　為什么俗話說“久賭必輸”？ 182
8.5.1　一個“看上去公平”的簡單模型 182
8.5.2　一個貪心的賭徒 184
8.5.3　賭博的潛在不公：莊家的贏面稍大一些 186