微積分（下）

第 7 章 多元函數(shù)微分學(xué) ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．1
7．1 多元函數(shù)的基本概念及其極限 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．1
7．1．1 n 維歐式空間 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．1
7．1．2 多元函數(shù) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．2
7．1．3 多元函數(shù)的重極限與連續(xù) ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．3
7．1．4 多元函數(shù)的累次極限 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．7
習(xí)題 7．1 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．8
7．2 偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù) ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．9
7．2．1 偏導(dǎo)數(shù)的定義 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．9
7．2．2 高階偏導(dǎo)數(shù) ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．11
習(xí)題 7．2 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．14
7．3 全微分 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．14
習(xí)題 7．3 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．18
7．4 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．19
習(xí)題 7．4 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．25
7．5 隱函數(shù)求導(dǎo)法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．26
習(xí)題 7．5 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．30
7．6 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．31
7．6．1 空間曲線的切線與法平面 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．31
7．6．2 曲面的切平面與法線 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．33
7．6．3 二元函數(shù)全微分的幾何意義 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．35
習(xí)題 7．6 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．35
7．7 多元函數(shù)的極值 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．36
7．7．1 多元函數(shù)的無(wú)條件極值 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．36
7．7．2 條件極值與拉格朗日乘數(shù)法 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．42
習(xí)題 7．7 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．46
7．8 方向?qū)?shù)與梯度 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．46
7．8．1 場(chǎng)的基本概念 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．46
7．8．2 方向?qū)?shù) ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．46
7．8．3 梯度 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．49
習(xí)題 7．8 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．51
綜合題 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．52
第 8 章 多元數(shù)量值函數(shù)積分學(xué) ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．53
8．1 黎曼積分 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．53
8．1．1 二重積分的概念 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．53
8．1．2 黎曼積分的概念 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．54
8．1．3 黎曼積分的分類 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．54
8．1．4 黎曼積分的性質(zhì) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．55
習(xí)題 8．1 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．57
8．2 二重積分的計(jì)算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．58
8．2．1 直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．58
8．2．2 極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．62
8．2．3 二重積分的對(duì)換對(duì)稱性 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．66
8．2．4 二重積分的變量代換 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．67
習(xí)題 8．2 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．70
8．3 三重積分的計(jì)算 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．72
8．3．1 直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．72
8．3．2 柱坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．75
8．3．3 球坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．77
8．3．4 三重積分一般的變量代換 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．79
習(xí)題 8．3 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．81
8．4 第一型曲線積分 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．83
習(xí)題 8．4 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．86
8．5 第一型曲面積分的計(jì)算 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．87
習(xí)題 8．5 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．93
8．6 黎曼積分的應(yīng)用實(shí)例 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．93
8．6．1 物體質(zhì)心 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．94
8．6．2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．96
習(xí)題 8．6 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．98
8．7 含參變量的積分 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．99
習(xí)題 8．7 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．101
綜合題 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．101
第 9 章 多元向量值函數(shù)積分學(xué) ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．104
9．1 向量場(chǎng) ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．104
9．1．1 向量場(chǎng)與向量線 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．104
9．1．2 向徑的導(dǎo)數(shù) ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．105
9．2 第二型曲線積分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．106
9．2．1 第二型曲線積分的定義 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．106
9．2．2 第二型曲線積分的計(jì)算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．108
9．2．3 兩種類型曲線積分的關(guān)系 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．111
習(xí)題 9．2 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．112
9．3 格林公式及平面流速場(chǎng)的環(huán)量與旋度 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????．113
9．3．1 格林公式 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．113
9．3．2 平面流速場(chǎng)的環(huán)量與旋度 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．117
習(xí)題 9．3 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．117
9．4 平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件及保守場(chǎng) ??????????????????????????????????????????????????????????????．118
9．4．1 平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????．118
9．4．2 保守場(chǎng)、原函數(shù)、全微分方程 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．123
習(xí)題 9．4 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．126
9．5 第二型曲面積分 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．127
9．5．1 第二型曲面積分的定義 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．127
9．5．2 第二型曲面積分的計(jì)算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．130
習(xí)題 9．5 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．135
9．6 高斯公式、通量與散度 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．136
9．6．1 高斯公式 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．136
9．6．2 向量場(chǎng)的通量與散度 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．139
9．6．3 第二型曲面積分的三個(gè)等價(jià)條件 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????．140
習(xí)題 9．6 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．142
9．7 斯托克斯公式、環(huán)量與旋度 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．144
9．7．1 斯托克斯公式 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．144
9．7．2 向量場(chǎng)的環(huán)量與旋度 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．146
習(xí)題 9．7 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．150
9．8 外微分形式 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．151
9．8．1 外積和外微分形式 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．151
9．8．2 外微分運(yùn)算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．151
9．8．3 梯度、旋度與散度的數(shù)學(xué)意義 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．152
9．8．4 多變量微積分的基本定理（一般的斯托克斯公式） ????????????????????????????????????????????????．154
綜合題 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．154
第 10 章 無(wú)窮級(jí)數(shù) ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．156
10．1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．156
10．1．1 斂散性的概念 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．156
10．1．2 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的幾個(gè)基本性質(zhì) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．158
10．1．3 柯西收斂原理 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．160
習(xí)題 10．1 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．161
10．2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性及其判別法 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．162
習(xí)題 10．2 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．172
10．3 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性及其判別法 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????．174
習(xí)題 10．3 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．181
10．4 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．182
10．4．1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù) ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．182
10．4．2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．183
習(xí)題 10．4 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．189
10．5 冪級(jí)數(shù) ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．189
10．5．1 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．190
10．5．2 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．194
習(xí)題 10．5 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．196
10．6 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．197
10．6．1 泰勒級(jí)數(shù)及直接展開法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．197
10．6．2 間接展開法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．201
10．6．3 冪級(jí)數(shù)和函數(shù) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．204
習(xí)題 10．6 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．206
10．7 冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用舉例 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．208
10．7．1 函數(shù)值的近似計(jì)算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．208
10．7．2 在積分計(jì)算中的應(yīng)用 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．209
10．7．3 方程的冪級(jí)數(shù)解法 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．210
習(xí)題 10．7 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．212
10．8 傅里葉級(jí)數(shù) ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．213
10．8．1 三角函數(shù)系的正交性 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．213
10．8．2 傅里葉級(jí)數(shù) ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．214
10．8．3 正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．216
10．8．4 以 2l 為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) ????????????????????????????????????????????????????????????????????????．217
10．8．5 有限區(qū)間上的函數(shù)的傅里葉展開 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????．219
習(xí)題 10．8 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．220
綜合題 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．222