高等數(shù)學（第三版）

1 函數(shù) …………………………………… 1
1.1 集合 ……………………………… 1
1.1.1 集合的概念 ………………… 1
1.1.2 集合的運算 ………………… 1
1.1.3 區(qū)間和鄰域 ………………… 2
習題1.1……………………………… 3
1.2 函數(shù) ……………………………… 3
1.2.1 函數(shù)的概念 ………………… 3
1.2.2 反函數(shù) ……………………… 4
習題1.2……………………………… 5
1.3 函數(shù)的基本性質(zhì) ………………… 6
1.3.1 函數(shù)的奇偶性 ……………… 6
1.3.2 函數(shù)的周期性 ……………… 6
1.3.3 函數(shù)的單調(diào)性 ……………… 7
1.3.4 函數(shù)的有界性 ……………… 7
習題1.3……………………………… 8
1.4 初等函數(shù) ………………………… 8
1.4.1 基本初等函數(shù) ……………… 8
1.4.2 復合函數(shù)…………………… 12
1.4.3 初等函數(shù)…………………… 13
習題1.4 …………………………… 13
1.5 函數(shù)關(guān)系的建立 雙曲函數(shù)…… 14
1.5.1 函數(shù)關(guān)系的建立…………… 14
1.5.2 雙曲函數(shù)…………………… 15
習題1.5 …………………………… 16
總習題一 ……………………………… 16
2 極限與連續(xù)…………………………… 18
2.1 數(shù)列的極限……………………… 18
2.1.1 數(shù)列的概念與性質(zhì)………… 18
2.1.2 數(shù)列的極限………………… 19
2.1.3 數(shù)列極限的性質(zhì)…………… 21
習題2.1 …………………………… 22
2.2 函數(shù)的極限……………………… 22
2.2.1 函數(shù)極限的定義…………… 22
2.2.2 函數(shù)極限的性質(zhì)…………… 25
習題2.2 …………………………… 26
2.3 無窮小與無窮大………………… 26
2.3.1 無窮小……………………… 26
2.3.2 無窮大……………………… 28
習題2.3 …………………………… 29
2.4 極限的運算法則………………… 30
2.4.1 極限的四則運算法則……… 30
2.4.2 復合函數(shù)的極限運算法則……………………………… 32
習題2.4 …………………………… 32
2.5 極限存在準則 兩個重要極限…………………………………… 33
2.5.1 夾逼準則…………………… 33
2.5.2 重要極限lim x→0sinxx =1 …… 34
2.5.3 單調(diào)有界準則……………… 35
2.5.4 重要極限lim x→∞ 1+1x x=e……………………………… 36
2.5.5 連續(xù)復利…………………… 38
習題2.5 …………………………… 38
2.6 無窮小的比較…………………… 39
習題2.6 …………………………… 40
2.7 函數(shù)的連續(xù)性…………………… 40
2.7.1 函數(shù)的連續(xù)性……………… 40
2.7.2 函數(shù)的間斷點……………… 42
2.7.3 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性……………… 44
習題2.7 …………………………… 46
高等數(shù)學(第三版)
2.8 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)……… 47
2.8.1 大值和小值定理與有界性定理…………………… 47
2.8.2 零點定理與介值定理……… 47
習題2.8 …………………………… 49
總習題二 ……………………………… 49
3 導數(shù)與微分…………………………… 52
3.1 導數(shù)的概念……………………… 52
3.1.1 兩個引例…………………… 52
3.1.2 導數(shù)的定義………………… 53
3.1.3 函數(shù)的連續(xù)性與可導性的關(guān)系………………………… 57
3.1.4 導數(shù)的幾何意義…………… 57
習題3.1 …………………………… 58
3.2 函數(shù)的求導法則與求導公式…… 59
3.2.1 函數(shù)的和、差、積、商的求導法則……………………… 59
3.2.2 反函數(shù)的求導法則………… 61
3.2.3 復合函數(shù)的求導法則……… 62
3.2.4 基本求導公式與導數(shù)法則……………………………… 63
習題3.2 …………………………… 65
3.3 高階導數(shù)………………………… 66
習題3.3 …………………………… 69
3.4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)……………………… 69
3.4.1 隱函數(shù)的導數(shù)……………… 69
3.4.2 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)……………………… 71
習題3.4 …………………………… 73
3.5 函數(shù)的微分……………………… 74
3.5.1 微分的定義………………… 74
3.5.2 微分的幾何意義…………… 76
3.5.3 基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運算法則………… 76
3.5.4 微分在近似計算中的應用
……………………………… 78
習題3.5 …………………………… 79
總習題三 ……………………………… 81
4 中值定理及導數(shù)應用………………… 83
4.1 中值定理………………………… 83
4.1.1 羅爾定理…………………… 83
4.1.2 拉格朗日中值定理………… 84
4.1.3 柯西中值定理……………… 87
習題4.1 …………………………… 88
4.2 洛必達法則……………………… 89
4.2.1 00和∞∞未定式的極限……… 89
4.2.2 其他未定式的極限………… 91
習題4.2 …………………………… 93
4.3 函數(shù)的單調(diào)性與極值…………… 93
4.3.1 函數(shù)單調(diào)性的判別法……… 93
4.3.2 函數(shù)的極值………………… 95
習題4.3 …………………………… 99
4.4 函數(shù)的大值與小值 ……… 100
習題4.4…………………………… 101
4.5 曲線的凹凸性及函數(shù)圖形的描繪 …………………………… 102
4.5.1 曲線的凹凸性及拐點 …… 102
4.5.2 曲線的漸近線 …………… 105
4.5.3 函數(shù)圖形的描繪 ………… 106
習題4.5…………………………… 108
4.6 泰勒公式 ……………………… 109
習題4.6…………………………… 112
4.7 弧微分 曲率 ………………… 112
4.7.1 弧微分 …………………… 112
4.7.2 曲率 ……………………… 114
習題4.7…………………………… 117
總習題四……………………………… 117
5 不定積分 …………………………… 120
5.1 不定積分的概念和性質(zhì) ……… 120
5.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念…………………………… 120
5.1.2 不定積分的幾何意義 …… 121
5.1.3 基本積分表 ……………… 121
5.1.4 不定積分的性質(zhì) ………… 122
習題5.1…………………………… 124
5.2 換元積分法 …………………… 124
5.2.1 換元積分法(湊微分法)………………………… 124
5.2.2 第二換元積分法 ………… 128
習題5.2…………………………… 132
5.3 分部積分法 …………………… 132
習題5.3…………………………… 135
5.4 有理函數(shù)的不定積分 ………… 136
5.4.1 有理函數(shù)與有理函數(shù)的不定積分 ………………… 136
5.4.2 三角函數(shù)有理式的不定
積分 ……………………… 138
習題5.4…………………………… 139
總習題五……………………………… 139
6 定積分 ……………………………… 141
6.1 定積分的概念與性質(zhì) ………… 141
6.1.1 定積分概念產(chǎn)生的背景 … 141
6.1.2 定積分的定義 …………… 142
6.1.3 定積分的幾何意義 ……… 144
6.1.4 定積分的性質(zhì) …………… 144
習題6.1…………………………… 147
6.2 微積分基本公式 ……………… 147
6.2.1 積分上限的函數(shù)及其導數(shù)…………………………… 147
6.2.2 微積分基本公式 ………… 149
習題6.2…………………………… 150
6.3 定積分的換元積分法與分部積分法 …………………… 151
6.3.1 定積分的換元積分法 …… 151
6.3.2 定積分的分部積分法 …… 154
習題6.3…………………………… 156
6.4 廣義積分與Γ函數(shù) …………… 156
6.4.1 無限區(qū)間的廣義積分 …… 156
6.4.2 無界函數(shù)的廣義積分 …… 158
6.4.3 Γ函數(shù) …………………… 159
習題6.4…………………………… 160
6.5 定積分的應用 ………………… 161
6.5.1 定積分的元素法 ………… 161
6.5.2 平面圖形的面積 ………… 162
6.5.3 平面曲線的弧長 ………… 165
6.5.4 旋轉(zhuǎn)體的體積與側(cè)面積 … 166
6.5.5 平行截面的面積為已知的立體的體積 ……………… 167
6.5.6 定積分在物理上的應用 … 168
習題6.5…………………………… 170
總習題六……………………………… 171
7 多元函數(shù)微分學 …………………… 174
7.1 空間解析幾何簡介 …………… 174
7.1.1 空間直角坐標系 ………… 174
7.1.2 空間兩點間的距離 ……… 175
7.1.3 n維空間 ………………… 175
7.1.4 空間曲面及其方程 ……… 176
習題7.1…………………………… 179
7.2 多元函數(shù)的基本概念 ………… 179
7.2.1 平面點集 ………………… 179
7.2.2 二元函數(shù)的概念 ………… 180
7.2.3 二元函數(shù)的極限與連續(xù) … 181
7.2.4 n元函數(shù)的概念 ………… 183
習題7.2…………………………… 183
7.3 偏導數(shù) ………………………… 184
7.3.1 偏導數(shù)的定義 …………… 184
7.3.2 偏導數(shù)的幾何意義及函數(shù)連續(xù)性與可偏導性的關(guān)系…………………………… 185
7.3.3 高階偏導數(shù) ……………… 186
習題7.3…………………………… 187
7.4 全微分 ………………………… 187
7.4.1 全微分的定義 …………… 187
7.4.2 函數(shù)可微分的條件 ……… 188
7.4.3 全微分在近似計算中的應用…………………………… 189
習題7.4…………………………… 190
7.5 復合函數(shù)與隱函數(shù)微分法 …… 190
7.5.1 復合函數(shù)的微分法 ……… 190
7.5.2 隱函數(shù)的微分法 ………… 193
習題7.5…………………………… 194
7.6 多元函數(shù)的極值問題 ………… 195
7.6.1 多元函數(shù)極值 …………… 195
7.6.2 條件極值與拉格朗日乘數(shù)法 ………………………… 198
習題7.6…………………………… 201
總習題七……………………………… 201
8 二重積分 …………………………… 204
8.1 二重積分的概念與性質(zhì) ……… 204
8.1.1 二重積分的概念 ………… 204
8.1.2 二重積分的性質(zhì) ………… 206
習題8.1…………………………… 207
8.2 二重積分的計算 ……………… 207
8.2.1 在直角坐標系下計算二重積分 ……………………… 207
8.2.2 在極坐標系下計算二重積分 ………………………… 211
8.2.3 廣義二重積分 …………… 214
習題8.2…………………………… 215
總習題八……………………………… 216
9 無窮級數(shù) …………………………… 219
9.1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) …… 219
9.1.1 常數(shù)項級數(shù)的概念 ……… 219
9.1.2 級數(shù)的基本性質(zhì) ………… 222
習題9.1…………………………… 225
9.2 正項級數(shù)的審斂法 …………… 225
習題9.2…………………………… 231
9.3 任意項級數(shù)及其審斂法 ……… 231
9.3.1 交錯級數(shù)的收斂性 ……… 231
9.3.2 任意項級數(shù)的收斂與條件收斂 ………………… 233
習題9.3…………………………… 234
9.4 冪級數(shù) ………………………… 235
9.4.1 函數(shù)項級數(shù)的一般概念 … 235
9.4.2 冪級數(shù)及其收斂性 ……… 236
9.4.3 冪級數(shù)的運算性質(zhì) ……… 240
習題9.4…………………………… 242
9.5 函數(shù)展開成冪級數(shù) …………… 243
9.5.1 泰勒級數(shù) ………………… 243
9.5.2 函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法…………………………… 245
習題9.5…………………………… 250
9.6 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應用………………………………… 250
9.6.1 函數(shù)值的近似計算 ……… 250
9.6.2 歐拉公式 ………………… 252
習題9.6…………………………… 253
總習題九……………………………… 253
10 常微分方程………………………… 256
10.1 常微分方程的基本概念……… 256
習題10.1 ………………………… 258
10.2 一階微分方程………………… 258
10.2.1 可分離變量的微分方程…………………………… 259
10.2.2 齊次方程………………… 260
10.2.3 一階線性微分方程……… 262
10.2.4 伯努利方程……………… 264
習題10.2 ………………………… 265
10.3 可降階的二階微分方程……… 266
10.3.1 y″=f(x)型的微分方程…………………………… 266
10.3.2 y″=f(x,y')型的微分方程……………………… 266
10.3.3 y″=f(y,y')型的微分方程……………………… 267
習題10.3 ………………………… 268
10.4 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)………………………………… 268
習題10.4 ………………………… 271
10.5 二階常系數(shù)線性微分方程………………………………… 271
10.5.1 二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法…………… 271
10.5.2 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程及其解法………… 274
習題10.5 ………………………… 279
10.6 微分方程的應用舉例………… 279
習題10.6 ………………………… 283
總習題十……………………………… 283
參考文獻………………………………… 286