莫德爾-韋伊定理：從一道日本數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題談起

第一章 橢圓曲線理論初步…………………………………1
1.1 引言 ……………………………………………………………1
1.2 牛頓對曲線的分類 ………………………………………………2
1.3 橢圓曲線與橢圓積分………………………………………………4
1.4 阿貝爾、雅可比、艾森斯坦和黎曼…………………………………5
1.5 橢圓曲線的加法……………………………………………………6
1.6 橢圓曲線密碼體制 ………………………………………………9
第二章 莫德爾一韋伊群 ……………………………………11
2.1 問題背景…………………………………………………………11
2.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 …………………………………………………12
第三章 關(guān)于橢圓曲線的莫德爾一韋伊群 …………………16
3.1 定義…………………………………………………………16
3.2 莫德爾一韋伊群……………………………………………………17
3.3 關(guān)于BSD猜想………………………………………………18
3.4 高度………………………………………………………………19
3.5 莫德爾一韋伊群的生成元 ……………………………………21
第四章 橢圓曲線中的韋伊猜想………………………………22
4.1 橢圓曲線上的猜想……………………………………………22
4.2 模形論…………………………………………………25
4.3 表示論……………………………………………………28
4.4 朗蘭茲猜想…………………………………………………35
4.5 附注 ……………………………………………………………37
第五章 橢圓曲線、阿貝爾曲面與正二十面體 ………………43
5.1 引言…………………………………………………43
5.2 正二十面體…………………………………………………44
5.3 橢圓曲線…………………………………………………45
5.4 阿貝爾簇 …………………………………………………………………………49
5.5 阿貝爾簇的射影嵌入 ……………………………………………………………51
5.6 Horrocks-Mumford叢……………………………………………………54
第六章 數(shù)域上的橢圓曲線 ……………………………………………………59
6.1 扭群結(jié)構(gòu) …………………………………………………………………………59
6.2 自由部分 ……………………………………………………………………………62
6.3 典范高度及計(jì)算莫德爾一韋伊群………………………………………………68
第七章 橢圓曲線的黎曼假設(shè)…………………………………………………75
7.1 引言 …………………………………………………………………………75
7.2 陳述 ………………………………………………………………………………76
7.3 整體(域的)Zeta函數(shù) …………………………………………………………………77
7.4 哈塞定理的初等證明 ………………………………………………………………82
第八章 橢圓曲線上的有理點(diǎn)個數(shù)……………………………………………87
8.1 引言 …………………………………………………………………………87
8.2 簇上的有理點(diǎn) ……………………………………………………………………89
8.3 橢圓曲線的秩 ………………………………………………………………………95
8.4 2-Selmer 群的平均階數(shù)…………………………………………………………100
8.5 推廣與推論 ………………………………………………………………………107
第九章《千年難題》的書評……………………………………………………111
參考資料………………………………………………………………………114