幾何相位與量子幾何初步

目錄
序一
序二
前言
第1章**力學中的幾何相位1
1.1傅科擺1
1.2**力學中的幾何相位理論3
1.2.1哈密頓力學與辛幾何3
1.2.2**可積系統(tǒng)簡介7
1.2.3絕熱不變量與**絕熱定理12
1.2.4**幾何相位——Hannay角18
第2章量子純態(tài)的幾何相位22
2.1Berry相位簡介——標準推導22
2.1.1量子絕熱過程與Berry相位22
2.1.2Berry相位與參數(shù)空間25
2.2量子純態(tài)的平行輸運與Berry相位27
2.2.1量子態(tài)之間的平行性和正交性27
2.2.2平行演化條件與Berry相位28
2.2.3平行演化與動力學過程29
2.3Berry相位的纖維叢描述31
2.3.1Berry相位與U(1)主叢31
2.3.2切叢的水平與垂直子空間32
2.3.3Ehresmann聯(lián)絡與Berry聯(lián)絡35
2.3.4平行輸運過程與Fubini-Study距離38
2.4兩能級體系中的Berry相位40
2.4.1Berry相位的一般表達式40
2.4.2有效磁矢量勢和有效磁場42
2.4.3Berry聯(lián)絡、Berry*率與環(huán)繞數(shù)43
2.4.4SSH模型46
2.5若干簡單量子系統(tǒng)的Berry相位50
2.5.1諧振子相干態(tài)的Berry相位50
2.5.2自旋-j系統(tǒng)的Berry相位53
2.5.3廣義諧振子的Berry相位54
2.6Berry相位與Hannay角56
2.7*Berry相位的應用：霍爾電導——TKNN公式58
2.7.1Kubo公式58
2.7.2霍爾電導61
2.7.3Berry相位與量子反常65
2.8簡并量子系統(tǒng)的Wilczek-Zee相位67
2.8.1物理描述67
2.8.2幾何描述69
2.8.3自旋四極子系統(tǒng)72
2.8.4一般雙重簡并四能級系統(tǒng)75
2.9Aharonov-Anandan相位77
2.9.1Aharonov-Anandan相位簡介77
2.9.2兩能級系統(tǒng)的Aharonov-Anandan相位79
2.9.3Aharonov-Anandan相位的幾何描述81
2.9.4純態(tài)幾何相位的可遷移性問題81
2.10純態(tài)幾何相位的動力學方法83
2.10.1Bargmann不變量83
2.10.2單參數(shù)*線與幾何相位84
2.10.3量子態(tài)之間的測地線與幾何相位86
2.10.4Bargmann不變量與幾何相位87
第3章純態(tài)流形的幾何90
3.1引言90
3.2量子純態(tài)的相空間90
3.2.1量子相空間的纖維化90
3.2.2量子相空間上的K？hler度量92
3.2.3CPN-1與Fubini-Study距離94
3.3齊次坐標下的Aharonov-Anandan相位96
3.4純態(tài)流形的纖維化與距離分解99
3.4.1距離分解99
3.4.2U(1)主叢S2N-1(CPN-1，U(1))100
3.4.3C*主叢CN(CPN-1，C*)103
3.4.4Aharonov-Anandan聯(lián)絡與CPN-1的幾何性質107
3.5純態(tài)的量子幾何張量110
3.5.1量子幾何張量簡介110
3.5.2二維量子幾何張量的性質116
3.5.3兩能級系統(tǒng)的二維量子幾何張量117
3.6Fubini-Study距離的幾何與物理意義118
3.6.1測地線118
3.6.2量子角122
3.6.3量子演化速度123
3.6.4保真度敏感性124
3.7簡并量子體系的非阿貝爾量子幾何張量125
3.7.1理論基礎125
3.7.2一般雙重簡并四能級系統(tǒng)127
3.8量子純態(tài)流形的辛幾何結構128
3.8.1厄米內(nèi)積與辛形式129
3.8.2辛形式與量子動力學129
3.8.3辛形式與幾何量子化134
第4章量子混合態(tài)及其純化的幾何性質139
4.1密度矩陣139
4.2量子混合態(tài)的相空間143
4.2.1密度矩陣空間143
4.2.2密度矩陣空間的幾何特征146
4.2.3密度矩陣空間的層化150
4.2.4密度矩陣空間的秩分解155
4.3量子混合態(tài)的純化157
4.3.1混合態(tài)純化的定義157
4.3.2平行性的定義159
4.3.3平行性與Bures距離160
4.4Uhlmann平行條件與Thomas旋轉矩陣166
4.5密度矩陣純化的數(shù)學物理意義170
4.5.1同一密度矩陣的不同純化170
4.5.2密度矩陣純化的旋量表示173
4.5.3準靜態(tài)動力學過程的旋轉解釋175
第5章量子混合態(tài)的Uhlmann相位176
5.1量子混合態(tài)幾何相位的研究歷程176
5.2量子混合態(tài)的Uhlmann相位177
5.2.1混合態(tài)純化的平行演化177
5.2.2Uhlmann相位的幾何理論181
5.2.3*從平行演化條件直接導出Uhlmann聯(lián)絡192
5.2.4Uhlmann*率193
5.3Uhlmann過程與動力學過程194
5.3.1兩種過程之間的關系194
5.3.2混合態(tài)的動力學相位196
5.3.3對偶哈密頓量197
5.3.4混合過程與Uhlmann動力學過程199
5.4Uhlmann過程的其他性質203
5.4.1Uhlmann平行演化條件與純態(tài)平行演化條件的對比203
5.4.2無限高溫下的Uhlmann過程205
5.5兩能級體系與非幺正Uhlmann過程207
5.5.1兩能級系統(tǒng)207
5.5.2SSH模型211
5.5.3關于二維量子系統(tǒng)拓撲Uhlmann數(shù)的爭議215
5.6幺正Uhlmann過程217
5.6.1幺正Uhlmann過程的存在性217
5.6.2諧振子相干態(tài)的Uhlmann相位219
5.6.3自旋-j系統(tǒng)的Uhlmann相位227
5.7Uhlmann-Berry對應關系242
5.7.1Uhlmann相位與Berry相位242
5.7.2Uhlmann*率與Berry*率246
5.7.3Uhlmann*率與Wilczek-Zee*率248
5.8Uhlmann相位的實驗模擬250
5.8.1平行演化的實驗實現(xiàn)250
5.8.2自旋-j系統(tǒng)的弱化“平行演化”251
5.8.3自旋-j系統(tǒng)的Uhlmann淬火動力學過程253
第6章量子混合態(tài)的干涉幾何相位260
6.1干涉幾何相位簡介260
6.1.1混合態(tài)的相位260
6.1.2平行演化條件262
6.1.3干涉幾何相位與動力學相位263
6.1.4干涉幾何相位的規(guī)范依賴性265
6.1.5典型例子266
6.2干涉幾何相位與Uhlmann相位273
6.2.1混合態(tài)純化與相位匹配條件273
6.2.2干涉幾何相位與Uhlmann相位的異同274
6.2.3同一物理過程，兩種幾何相位275
6.2.4三能級玩具模型277
第7章混合態(tài)幾何相位的其他定義285
7.1引言285
7.1.1Berry相位的“直接”推廣285
7.1.2干涉幾何相位的“直接”推廣286
7.2熱基態(tài)–密度矩陣的另一純態(tài)表示287
7.2.1熱基態(tài)簡介287
7.2.2*BCS模型的熱基態(tài)描述289
7.3熱Berry相位291
7.3.1平行演化條件的推廣291
7.3.2熱Berry相位的理論分析292
7.3.3典型例子296
7.4熱Berry相位與U(1)叢298
7.4.1熱Berry相位的規(guī)范不變性298
7.4.2U(1)叢299
7.4.3Ehresmann聯(lián)絡與U(1)規(guī)范聯(lián)絡302
7.4.4U(1)幾何相位–熱Berry相位303
7.5廣義干涉幾何相位304
7.5.1簡介304
7.5.2系統(tǒng)空間上的幺正演化305
7.5.3輔助空間上的幺正演化306
7.5.4系統(tǒng)空間與輔助空間上的聯(lián)合幺正演化308
7.5.5典型例子310
第8章混合態(tài)流形與量子幾何張量314
8.1混合態(tài)流形及其度規(guī)314
8.1.1混合態(tài)相空間DNN314
8.1.2Hilbert-Schmidt度規(guī)315
8.1.3Bures度規(guī)316
8.1.4Bures度規(guī)與量子Fisher信息矩陣320
8.2U(N)–量子幾何張量322
8.2.1Uhlmann度規(guī)322
8.2.2Uhlmann度規(guī)與Bures度規(guī)326
8.2.3Uhlmann形式329
8.2.4純態(tài)與混合態(tài)之間的對應與不同331
8.2.5Bures距離與Fubini-Study距離332
8.2.6基本不等式與Bures距離的分解334
8.2.7典型例子336
8.3UN(1)–量子幾何張量340
8.3.1Sj？qvist距離340
8.3.2Sj？qvist距離與UN(1)主叢342
8.3.3Sj？qvist距離的物理意義346
8.3.4UN(1)–量子幾何張量349
8.3.5基本不等式352
8.3.6典型例子355
參考文獻363
附錄ABerry相位的一些補充計算369
附錄BK？hler流形簡介371
B.1復流形371
B.1.1柯西–黎曼條件371
B.1.2近復結構371
B.2厄米流形與K¨ahler流形374
B.2.1黎曼度規(guī)374
B.2.2厄米度規(guī)374
B.2.3K？hler形式376
B.2.4撓率與*率379
B.2.5K？hler流形381
附錄CUhlmann相位理論中的一些計算383
C.1Bures距離383
C.2Uhlmann聯(lián)絡385
C.3兩能級體系Uhlmann聯(lián)絡的另一種計算方法386
C.4Uhlmann對主叢聯(lián)絡的推導及其問題388
附錄D量子淬火動力學簡介391
D.1簡介391
D.2理論模型392
D.3自旋-j系統(tǒng)的動力學量子相變394
D.4在量子混合態(tài)中的推廣395
《21世紀理論物理及其交叉學科前沿叢書》已出版書目398